OMK历年题目

zihern

1. OMK 1998, Muda #1
在我前面排队的人数是多过在我后面排队的人数１３人。整个队伍是在我后面排队的人数的四倍。求在我前面排队的人数。

Let the front=x and the behind=y

From statement 1（在我前面排队的人数是多过在我后面排队的人数１３人）, x=y+13 --> Equation 1

From statement 2（整个队伍是在我后面排队的人数的四倍）,
the whole queue=x+y+1
x+y+1=4y --> Equation 2

Thus, using substitution (E1 into E2), we get y=7.

In the question, x is required.
So, x=y+13=20

答案：20

kbubble

原帖由 dunwan2tellu 于 2-5-2006 07:37 PM 发表
4)有一个很好用的 trigo identity 可以用。和三角形 tan 有关。
6）考虑用 mod 4
8）提示：用 mod 3 , mod 4 来推论出 z 和 x 是偶数 ....

可以详细地说明第8吗?我还不是很了解.....

dunwan2tellu

3^x + 4^y = 5^z

in mod 3 ; 1 == (-1)^z (mod 3)  (因为 3^x == 0 (mod 3) , 4^y == 1 (mod 3) , 5^z == (-1) mod 3)

=> z = even

in mod 4 ; (-1)^x == 1 (mod 4)

=> x = even

然后设 z = 2m , x = 2n

得到  4^y = (5^m + 3^n)(5^m - 3^n)

因此 5^m + 3^n = 2^p ; 5^m - 3^n = 2^q where p + q = 2y , p > q

所以 2(5^m) = 2^p + 2^q  

=> 2(5^m) = 2^q * (2^(p-q) + 1)

因为左边只有一个 factor of 2 , 所以 q = 1 .

所以 5^m = 2^(p-1) + 1 = 4^(y-1) + 1 (因为 p + 1 = 2y)
明显 m = 1 , y = 2 是一个解。如果 y > 2

那么 5^m - 5 = 4^(y-1) - 4  <==> 5(5^(m-1) - 1) = 4(4^(y-2) - 1)
因此 4^(y-2) - 1 = 5 ==> 4^(y-2) = 6 无解。故 y > 2 无解。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 16-4-2007 05:46 PM 编辑 ]

什么是mod?mod不是statistic 了的东西吗？
Hebe好象有提过什么theory of Congurance的，对吗？

hamilan911

原帖由 麻瓜…龙的后代 于 15-4-2007 11:20 PM 发表
什么是mod?mod不是statistic 了的东西吗？
Hebe好象有提过什么theory of Congurance的，对吗？

这里指的mod是数论的mod
statistic那个是mode(众数）

数论的mod,请问你能简单的向我说说看吗？

jinqwem

如果A数和B数的差可以被C数整除, 那么我们说, A mod C B,
mod 的概念常用来解可除性( DIVISIBILITY) 或尾数( last digit ) 的问题

那谁能和我解释第八题的答案呢？

dunwan2tellu

原帖由 麻瓜…龙的后代 于 16-4-2007 11:00 PM 发表
那谁能和我解释第八题的答案呢？

第一步是证明 3^x + 4^y = 5^z 里， x 和 z 一定要是偶数。

然后假设 x = 2m , z = 2n .你要证明 y = 2 是唯一的答案。所以我所作的就是为了证明 y > 2 时无解。

可能你要先阅读有关“数论”的基础，才能知道如何运用 mod

那.....相关的教学网站？

dunwan2tellu

这是在网上找到的

初等数论Notes
初等数论 Notes 2 (看前面part)

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 17-4-2007 09:58 PM 编辑 ]

Allmaths

12. OMK 1999, Muda #4, Sulong #1
如果a^2 + b^2 = 1和 c^2 + d^2 = 1, 证明(ac + bd)^2 <= 1
anonimo 发表于 3-5-2006 02:59 PM

小弟想问问这题可以用柯西不等式吗？

kelfaru

小弟想问问这题可以用柯西不等式吗？
Allmaths 发表于 11-9-2010 02:44 AM

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1

Using Cauchy inequality (a^2+b^2)(c^2+d^2) >= (ac+bd)^2

*(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1
Therefore,
(ac+bd)^2<=1

Allmaths

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1

Using Cauchy inequality (a^2+b^2)(c^2+d^2) >= (ac+bd)^2

*(a^2+b^2)(c^ ...
kelfaru 发表于 11-9-2010 11:38 AM

就是这样想。。。
不过这样的solution未免太短了？

多普勒效应

回复 34# Allmaths

   应该是可以的吧! 只不过是当年的 OMK 程度不高. 出题者大概认为不多学生看过柯西不等式，所以就出了这一题。

有一年的题目，直接用 AM-GM 不等式就可以证明到，和这一题类似，三两行就完成了。

kelfaru

就是这样想。。。
不过这样的solution未免太短了？
Allmaths 发表于 11-9-2010 11:46 AM

不短~看看他们怎样解~

http://cforum6.cari.com.my/viewthread.php?tid=1360841&extra=page%3D1

嫌短的话,把柯西不等式证明出来就不短了~

Allmaths

回复  Allmaths

   应该是可以的吧! 只不过是当年的 OMK 程度不高. 出题者大概认为不多学生看过柯西不等 ...
多普勒效应 发表于 11-9-2010 11:54 AM

版主。。好久不见啊！

原来如此。。小弟没福参加OMK。。。只好到这儿来看看题目。。。


先谢版主解答小弟的问题！

Allmaths

不短~看看他们怎样解~

http://cforum6.cari.com.my/viewthread.php?tid=1360841&extra=page%3D1

...
kelfaru 发表于 11-9-2010 11:55 AM

是蛮短的。。。柯西不等式出自于vector吧。。。不过证出来有分吗？

kelfaru

柯西不等式出自于vector之前,就可用代数来证明...
证出来有分没有分还是问版主吧~

Allmaths

柯西不等式出自于vector之前,就可用代数来证明...
证出来有分没有分还是问版主吧~
kelfaru 发表于 11-9-2010 12:07 PM

话说OMK可以带计算机进去吗？