STPM 数学练习题

dunwan2tellu

the heights of 20 football players are recorded. the mean height of the players is 1.82m with variance 0.0324m^2. after checking again, three mistakes were found as shown below
height of player recorded(m)  1.56   1.84   1.33
actual height of player (m)   1.65   1.44   1.88

(a) calculate the correct mean and variance for the 20 football players.

先找总共的height 是多少？也就是 20 x 1.82 .然后取掉那三个错的，补上三个对的，就可以得到 mean .

从　variance formula　, V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 ，因为你知道旧的　ｖａｒｉａｎｃｅ　和　ｍｅａｎ　是多少，带入就可以知道　E(X^2)　是多少。

找到后，分别减掉那三个错的号码的　ｓｑｕａｒｅ，然后加上新的ｓｕｍ　ｏｆ　ｓｑｕａｒｅ　就可以得到新的 E(X^2)

有了新的 E(X^2) , E(X) 你就可以找得到新的　V(X)

独帆

ABCD is a regular tetrahedron,i.e its sides are of equal length.E and F are the mid point of AB and CD respectively.find the angle between
(a)        the plane ABEF and the plane CDEF
(b)        the plane ABEF and the line AC
(c)        the line AC and the line EF
answer (a) 90º
       (b)30º
       (c)45º

dunwan2tellu

我建议你先画出来看。

a)他们之间的 angle 也就是等于 ABF 和 BCD 之间的 angle .可以想象 CFDE 只是把 CFDB “拉起来”，不过不会影响他们之间的 angle.所以 = 90

b) 你要找的 angle 其实就是 <CAF = 30

c)暂时没想到

QooLuo

能帮解这一题吗？

Prove or disprove. For any n x n matrix , A^T = A A^T

dunwan2tellu

原帖由 QooLuo 于 11-8-2006 05:36 PM 发表
能帮解这一题吗？

Prove or disprove. For any n x n matrix , A^T = A A^T

题目是prove /disprove  A^T = AA^T ?
那么明显错了。比如当  

    1 0
A = 2 0

你可以看到它并不成立

独帆

halo everyone,anyone can help do question 4 exercise 2.3 page 50 pelangi book paper 2?it is question to show that pairs of triangles are congruent and give reason.

dunwan2tellu

原帖由 独帆 于 26-8-2006 09:32 PM 发表
halo everyone,anyone can help do question 4 exercise 2.3 page 50 pelangi book paper 2?it is question to show that pairs of triangles are congruent and give reason.

我建议你不如把题目 scan 或 type 上来。（我没有 pelangi 的书）

独帆

the question is like tis,i just can explain n let u imagine coz i havent scanner n tis question is diagram question,sorry.
a triangle ABC given angle B=50 degree,angle C=60 degree,BC = 3.9 ,AB = 2.4, AC = 1.8,and a triangle XYZ given angle X = 50 degree,angle Y=70 degree,XZ = 3.9 ,the question is show that pairs of triangle are congruent and give reason.
my answer is triangle ABC = triangle YXZ ( ASA ) but wrong,how u all answer?

[ 本帖最后由 独帆 于 27-8-2006 05:18 PM 编辑 ]

白羊座aries

Sequence and series
1.
f(r)=r(r+1)! , simplify f(r) - f(r-1)
hence , find the sum of the series
5.2! + 10.3!+17.4!+...+(n^2+1)n!

2.find

2n
∑    (r-1)/(r+1)(r+2)(r+3)
r=n


(r-1)/(r+1)(r+2)(r+3)的partial fraction是 -1/r+1   + 3/r+2   -2/r+3

3.the rth term of a series is 1/r(r+2).FInd the sum of first n terms of the series and deduce the sum of infinity

4.Binomial expansion
find the possible values of p and q if the expansion in ascending power of x up to the term in x^2 of
(1+px)^1/2(1+qx)^-1 is 1-2x^2

暂时这么多先.

VernGalaxy

1. Given f(r)=r(r+1)!, so f(r-1)=(r-1)r!
f(r)-f(r-1)
=r(r+1)!-(r-1)r!
=r(r+1)r!-(r-1)r!
=r!(r^2+r-r+1)
=r!(r^2+1)

as
Un=(n^2+1)n!
=f(r)-f(r-1)
Sn
=f(r)-f(r-1)
=f(n)-f(0)
=n(n+1)!

2.
(r-1)/(r+1)(r+2)(r+3)
=(r+1-2)/(r+1)(r+2)(r+3)
=1/(r+2)(r+3)-2/(r+1)(r+2)(r+3)
=Ur-2Vr

for Ur
=1/(r+2)(r+3)
f(r)=1/(r+3)
f(r-1)=1/(r+2)
so, f(r)-f(r-1)
=1/(r+3)-1/(r+2)
=(r+2-r-3)/(r+3)(r+2)
=-1/(r+3(r+2)
=-Ur
so, Ur=-[f(r)-f(r-1)]

for Vr
=1/(r+1)(r+2)(r+3)
g(r)=1/(r+2)(r+3)
g(r-1)=1/(r+1)(r+2)
so, g(r)-g(r-1)
=1/(r+2)(r+3)-1/(r+1)(r+2)
=(r+1-r-3)/(r+1(r+2)(r+3)
=-2/(r+1)(r+2)(r+3)
=-2Vr
so, Vr=-1/2[g(r)-g(r-1)]

as Sn=Ur-2Vr
=-[f(r)-f(r-1)]-2{-1/2[g(r)-g(r-1)]}
=-[f(n)-f(0)]+[g(n)-g(0)]
=-1/(n+3)+1/3+1/(n+2)(n+3)-1/6
=[2(n+2)(n+3)-6(n+2)+6-(n+2)(n+3)]/6(n+2)(n+3)
=n(n-1)/6(n+2)(n+3)

3. Given 1/r(r+2)
By partial fraction,
1/r(r+2)=1/2r - 1/(2r+4)
so, 1/2 - 1/6 + 1/4 - 1/8 + 1/6 - 1/10 + 1/8 - 1/12 + 1/10 +1/12...+ 1/2(n-1) - 1/[2(r-1)+4] +1/2r - 1/(2r+4)
Sn
=1/2 + 1/4 - 1/[2(n-1)+4] - 1/(2n+4)
=3/4 - 1/(2n+3) - 1/(2n+4)
=[3(2n+3)(2n+4)-4(2n+4)-4(2n+3)]/4(2n+3)(2n+4)
=(6n^2+13n+4)/2(2n+3)(2n+4)

4.
(1+px)^1/2=1+px/2+p^2x^2/8+...
(1+qx)^-1=1-qx+q^2x^2+...
(1+px)^(1/2)*(1+qx)^-1
= 1- qx + px/2 + q^2x^2 - pqx^2/2 - p^2x^2/8+....
=1+x*(p/2 - q)+x^2*(q^2 - pq/2 - p^2/8)+....
equating coefficient of x and x^2 with respect to 1-2x^2
p/2 - q=0   --------(1)
q^2 - pq/2 - p^2/8=-2  --------(2)

solving equations, from (1) p=2q subtitute into (2)
q^2 - (2q)q/2 - (2q)^2/8=-2
q^2=4
q=+2,-2
p=+4,-4

好多。。。不過還是打完了。不知道大大看得懂嗎。。。有點亂。有些通分的部分我刪掉了，只留下重要的部分。
我數學比較粗心，可能做錯了也說不定。。。因為沒有答案對照嘛如果是這樣就抱歉了，不過方法應該沒有錯。。。吧

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 8-10-2009 12:29 AM 编辑 ]

Log

第一题应该是
n(n+1)! -2
because r starts from 2 , n sigma r=2

Log

第二题
（2n^2+n-2) /(n+2)(2n+2)(2n+3)
你的答案也是对的,but也是有少少不对，怎么说呢？
mmmm 你check下

VernGalaxy

原帖由 Log 于 6-10-2009 11:33 PM 发表
第二题
（2n^2+n-2) /(n+2)(2n+2)(2n+3)
你的答案也是对的,but也是有少少不对，怎么说呢？
mmmm 你check下

haha
竟然忘了n~2n。。。我考試就死在粗心。。。
多謝大大提醒。
Sn
=-[f(2n)-f(n-1)]+[g(2n)-g(n-1)]
=-1/(2n+3) + 1/(n+2) + 1/(2n+2)(2n+3) - 1/(n+1)(n+2)
....
=(n+1)(2n^2+n-2)/(n+1)(n+2)(2n+2)(2n+3)
=(2n^2+n-2)/(n+2)(2n+2)(2n+3)

白羊座aries

原帖由 Log 于 6-10-2009 09:38 PM 发表
第一题应该是
n(n+1)! -2
because r starts from 2 , n sigma r=2

为什么你会知道r =2 ?start from 2 ?题目都没有写,但是答案的确是n(n+1)!-2

第二题
（2n^2+n-2) /(n+2)(2n+2)(2n+3)
你的答案也是对的,but也是有少少不对，怎么说呢？
mmmm 你check下

答案是 n/(n+1)(n+2)      -    2n+1/2(n+1)(2n+3), 我明白你们的答案,你们是将2个fraction乘在一起,但是怎样做?不明白,可以教仔细些吗?
那里来的Ur和Vr? 什么东西来的?我完全不明白
我第一次做sum of 2n 的题目.

equating coefficient of x and x^2 with respect to 1-2x^2
p/2 - q=0   --------(1)
q^2 - pq/2 - p^2/8=-1  --------(2)

可以教我看怎样equating吗?
我明白
p/2 - q和
q^2 - pq/2 - p^2/8
但是我不明白为什么=0和= -1,题目明明就是 1-2x^2,那里来的0和 -1?

[ 本帖最后由 白羊座aries 于 7-10-2009 10:38 PM 编辑 ]

VernGalaxy

原帖由 白羊座aries 于 7-10-2009 10:35 PM 发表


为什么你会知道r =2 ?start from 2 ?题目都没有写,但是答案的确是n(n+1)!-2

題目給予排式：5.2! + 10.3!+17.4!+...+(n^2+1)n!
而之前證明到：(r^2+1)r!
如果說r是由1一直加到n（即summation [1 to n])，那么排式的第一項應該為：(1^2+1)*1!=2*1!
可是題目給的排式卻是由 5*2!開始，意思便是當r=2為開始，第一項為：(2^2+1)*2!=(4+1)*2!=5*2!。
所以當帶入 f(r)-f(r-1)是，第一項r要=2才會符合題目的意思，
題目給：f(r)=r(r+1)!
Sn=f(r)-f(r-1)
when r=2
Sn=f(n)-f(2-1)
=n(n+1)!-1(1+1)!
=n(n+1)!-2
幸好log大大有提醒，不然我又要弄錯了。。。

答案是 n/(n+1)(n+2)      -    2n+1/2(n+1)(2n+3), 我明白你们的答案,你们是将2个fraction乘在一起,但是怎样做?不明白,可以教仔细些吗?
那里来的Ur和Vr? 什么东西来的?我完全不明白
我第一次做sum of 2n 的题目.

那個Ur和Vr是用在Finite Series的方法,針對解有fraction又有未知分子的復雜Summation很好用,如果沒有錯應該叫Difference Method，基本上就是圍繞在f(r)-f(r-1)。這個東西我也是前幾個禮拜才學。解釋方面有點復雜，你可以問問你的老師，因為網上很難表達。
如果不要用這個方法，你也可以用你開出來的Partial fraction來做，即是用第三題的方法來找出會被相互抵消的規律，然后用留下來的變數和常數解出答案。其實Difference Method就是這個方法的延伸簡化。

可以教我看怎样equating吗?
我明白
p/2 - q和
q^2 - pq/2 - p^2/8
但是我不明白为什么=0和= -1,题目明明就是 1-2x^2,那里来的0和 -1?

抱歉我上面打錯了號碼，應該是：
q^2 - pq/2 - p^2/8=-2
因為題目給的是1-2x^2
意思即開出來的排式的第一項為1，第二項為0x，第三項為-2x^2.
如果說用p和q表達的x和x^2系數與1+0x-2x^2的系數做方程式（即題目給的：1-2x^2。x項會消失代表他的系數為0）就變成：
p/2 - q=0   --------(x項系數全等)
q^2 - pq/2 - p^2/8=-2  --------（x^2項系數全等）

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 8-10-2009 01:10 AM 编辑 ]

zolo

registration number of vehicles in a country use digit 1 to 999...if a visitor enter the country,what is the probability that the first car he see has at least 2 identical digits? ans:29/111

VernGalaxy

全部可能：9^3 + 9^2 + 9=999
考慮由3個號碼組成，全部號碼皆不相同：9C1*9C1*8C1
考慮由2個號碼組成，號碼不相同：9C1*9C1
由一個號碼組成：9C1

所以，全部都不相同的可能性：(9C1*9C1*8C1+9C1*9C1+9C1)/999 = 738/999
再來由所有可能性扣除 全部都不相同的可能性，剩下的就會是至少由2個相同號碼組成的了。
1-738/999=29/111

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 10-10-2009 11:22 PM 编辑 ]

mathlim

原帖由 zolo 于 10-10-2009 09:55 PM 发表
registration number of vehicles in a country use digit 1 to 999...if a visitor enter the country,what is the probability that the first car he see has at least 2 identical digits? ans:29/111

1 - 10×9×8/999 - 18/999 = 29/111

注：那十八个是指：
001，002，003，004，005，006，007，008，009，
010，020，030，040，050，060，070，080，090。
因为这些号码前面的0实际上是不会显示的！

mathlim

1~999 有 999 个数。