STPM 数学练习题

Scoutfai

原帖由 dunwan2tellu 于 10-6-2006 12:49 PM 发表


没错，就是用这个。

我也看到一个不错的 limit 问题

Find Lim_{x-> oo}  


原来 Scoutfai 兄对宇航学有兴趣,难怪连头像都用太空人的。相信未来宇航学应该会吃香，毕竟中国都开始注重着领域了。 ...

为方便，让 lim_{x→∞} 写成 lim
lim [(x+1)/(x+2)]^(2x) = lim [(1+1/x)/(1+2/x)]^(2x)
                       = lim [(1+0)/(1+0)]^(2x)
                       = lim [1^(2x)]
                       = 1

哈哈是蛮有兴趣的。但在大马较难找吃，马航又刚炒人，哎前途一片黑暗。

dunwan2tellu

原帖由 Scoutfai 于 10-6-2006 06:26 PM 发表

为方便，让 lim_{x→∞} 写成 lim
lim ^(2x) = lim ^(2x)
                       = lim ^(2x)
                       = lim
                       = 1

哈哈是蛮有兴趣的。但在大马较难找吃，马航又 ...

Scoutfai 兄，这题可没你想象得那么简单哦。
我们不能“先”找里面的 limit，后再找外面的，因为里外都有 x 的 variable .
想想 e 吧？

其实也不一定在本地发展，可以到外国闯一闯嘛！毕竟外国比较注重人才

Scoutfai

原帖由 dunwan2tellu 于 10-6-2006 06:54 PM 发表


Scoutfai 兄，这题可没你想象得那么简单哦。
我们不能“先”找里面的 limit，后再找外面的，因为里外都有 x 的 variable .
想想 e 吧？

其实也不一定在本地发展，可以到外国闯一闯嘛！毕竟外国比较注 ...

哦，失礼了。头脑生锈程度严重。
是这样做吧：
已知 lim_{x→∞}[1+1/x]^x = e

那么
lim_{x→∞}[(x+1)/(x+2)]^(2x)
= { lim [(x+1)/(x+2)]^x }^2
= { lim [(1+1/x)/(1+2/x)]^x }^2
= {〔lim (1+1/x)^x 〕/〔lim (1+2/x)^x 〕}^2
= e^2 / [lim (1+2/x)^x]^2

让 x=2y,
∴ lim_{x→∞}[(1+2/x)^x] = lim_{2y→∞}[(1+1/y)^(2y)]
                          = (lim_{y→∞}[(1+1/y)^y])^2
                          = e^2
∴ lim_{x→∞}[(x+1)/(x+2)]^(2x)
= e^2 / (e^2)^2
= e^(-2)

真的是一个很会陷人的题目。
到外国发展，现阶段还是别想的过远了。

[ 本帖最后由 Scoutfai 于 10-6-2006 09:31 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

的确，这些题目看起来简单但是却陷阱重重。哈哈。

其实我发现到可以这样做

Lim_{x-> oo} [( x+1 )/(x+2)]^(2x)

= Lim_{x-> oo} [ (x+2)/(x+1)]^(-2x)  先到反
= Lim_{x-> oo} {[1 + 1/(x+1)]^(x+1)}^[-2x/(x+1)]    后partial fraction，他的 power 乘上 (x+1)/(x+1)
= Lim_{x-> oo} {[1 + 1/(x+1)]^(x+1)}^[-2/(1+ 1/x)]
= e^(-2)



对了， Scourfai 兄，你所输入的数学符号都是 install 在电脑里的？还是是用“置顶”那里的符号？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 10-6-2006 09:42 PM 编辑 ]

Scoutfai

原帖由 dunwan2tellu 于 10-6-2006 09:38 PM 发表
的确，这些题目看起来简单但是却陷阱重重。哈哈。

其实我发现到可以这样做

Lim_{x-> oo} ^(2x)

= Lim_{x-> oo} ^(-2x)  先到反
= Lim_{x-> oo} {^(x+1)}^    后partial fraction，他的 power  ...

用中文之星的。但还是希望输入问题可以被根本的解决。

你这行：

= Lim_{x-> oo} {[1 + 1/(x+1)]^(x+1)}^[-2/(1+ 1/x)]

这暗示这你使用了以下的"定理" :
lim_{x→c} [{f(x)}^{g(x)} ] = { lim_{x→c}[f(x)] }^{ lim_{x→c}[g(x)] }
这个我没学过，你有？

[ 本帖最后由 Scoutfai 于 10-6-2006 10:09 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 Scoutfai 于 10-6-2006 09:52 PM 发表

用中文之星的。但还是希望输入问题可以被根本的解决。

你这行：

这暗示这你使用了以下的"定理" :
lim_{x→c}  = { lim_{x→c} }^{ lim_{x→c} }
这个我没学过，你有？

并非新定理哦。其实只是用到 lim_{x->c} f(x).g(x) = (lim f(x))(lim g(x)) 罢了。

为何？因为我们可以这样做

let y = [f(x)]^g(x) ==> ln y = g(x)[ln f(x)]

所以，要找 lim y 的话，可以先找 lim [ln y] = L ,过后得到 Lim y = e^L

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 11-6-2006 03:58 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

求 d^2y/dx^2 若

ax^2 + 2hxy + by^2 = 1

a,h,b 是常数

~HeBe~_@

什么是常数？
英文的名称叫什么？

dunwan2tellu

原帖由 ~HeBe~_@ 于 28-6-2006 03:03 PM 发表
什么是常数？
英文的名称叫什么？

常数 = constant

这题题目我用的是最直接的微分法（differentiate),所以做起来很麻烦。因此就贴上来，看看大家有什么意见。能否想到 shortcut

~HeBe~_@

我做出来了，
但真得非常复杂！
有时会把h和b写错。。。。
你的答案是什么？

dunwan2tellu

答案出乎意料的美而且简单！

d^2y/dx^2 = (h^2 - ab)/(hx + by)^3

就是不知道解法有没有美的
我猜测应该要有，只是没有头绪。
~Hebe_@~ , 你有什么高招吗？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 28-6-2006 04:50 PM 编辑 ]

~HeBe~_@

dunwan2tellu,
请问这是书上的答案吗？
我的答案只Simply分母而已，分母的答案更你一样，但分子看了后太长所以没simply它。。。。

我想在这方面没什么高招了。。。。

我只知道你可以把first differentiate 的答案代进second differentiate里的first differentiate，
然后，simplfy它。。。。

我想若那题出在考试的话，学生们一定很紧张。。。

若你想到高招告诉我好吗？

dunwan2tellu

分子的却很复杂，不过你注意到

ax^2 + 2hxy + by^2 = 1

所以你可以 further simplify 然后得到 h^2 - ab

本来的分子经过 factorise 后是 (h^2 - ab)(ax^2 + 2hxy + by^2)

这题目是我的一个高二的独中朋友问我的。题目应该是从他的老师那里得到的。

我也是和你差不多的做法。哈哈。

的确，考试出的话，大部分的学生都会紧张。

如果有高招的话，我一定会贴出来的

~HeBe~_@

分子经过 factorise 后是 (h^2 - ab)(ax^2 + 2hxy + by^2) 。。。。。
真的很特别哦。。。
有(ax^2 + 2hxy + by^2)=1在分子里面。。
真奇妙哦。。。
要想想研究下。。

dunwan2tellu

关于 Function 的题目：

The lifespan (in hour) for a certain type of batteries is measured by taking a sample of 100 batteries and the result are given below.
Lifespan (hours)        90        95        100        105        110        115        120        125        130
Frequency         2        17        30        21        15        9        3        2        1

(a)        estimate the mean lifespan of the batteries and calculate its standard deviation
(b)        estimate the fraction of batteries that have lifespans  within one standard deviation from the mean
(c)        estimate also the median lifespan of the batteries
以上的（B）和(c) 我不会请你们帮帮我谢谢.

dunwan2tellu

The lifespan (in hour) for a certain type of batteries is measured by taking a sample of 100 batteries and the result are given below.
Lifespan (hours)        90        95        100        105        110        115        120        125        130
Frequency         2        17        30        21        15        9        3        2        1

(a)        estimate the mean lifespan of the batteries and calculate its standard deviation
(b)        estimate the fraction of batteries that have lifespans  within one standard deviation from the mean
(c)        estimate also the median lifespan of the batteries

b)你得到ｍｅａｎ　和　ｓ．ｄ　后，假设他们是　ｍ和ｓ那么你就找有几个是在

（ｍ－ｓ，ｍ＋ｓ）之间。得到的数量除于　１００　就是你要找的。

ｃ）用　ｆｏｒｍ　５　学的　ｍｅｄｉａｎ　的找法。
先看第５０个ｄａｔａ在哪里？大概在　１００　到　１０５　之间。然后用比例来看。　

ｍｅｄｉａｎ　＝ lower limit of range + (half data - total data before median)/total data in the class of median)  * class width

= 105.5 + (50-49)/(21) * 5 = 105.74

~HeBe~_@

原帖由 dunwan2tellu 于 4-7-2006 07:20 PM 发表
关于 Function 的题目：

你要找的是 cos(x+2y),

所以cos(x+2y)=cosx cos2y - sin2y sinx

首先你要找  cosx  =  ？
                 cos2y=  ？
                 sin2y =  ？
                 sinx   =  ？

dunwan2tellu

不需要分开来找，我们可以直接得到 x+2y 。

提示：设 f(x) = x^3 + sin x

然后证明 f(x) 是 odd function 而且是 one to one function(bijective)

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 6-7-2006 06:28 PM 编辑 ]

谢谢你！我不明白这一题！
the heights of 20 football players are recorded. the mean height of the players is 1.82m with variance 0.0324m^2. after checking again, three mistakes were found as shown below
height of player recorded(m)  1.56   1.84   1.33
actual height of player (m)   1.65   1.44   1.88

(a) calculate the correct mean and variance for the 20 football players.