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楼主: QooLuo

STPM 数学练习题

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发表于 31-5-2006 02:28 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 31-5-2006 10:24 AM 发表


加上一个 cos x 的目的是使到它可以被积分。因为 d(xSin+Cos)/dx = xCos
最后一步是 simplify .

哇哈哈哈,说出来都没有人信!
你写分母为 x*sin x + cos x , 但我一路来居然看成 x*cos x + sin x。
不能置信对吗,我本身也对自己感到惊讶。看看以下的网站,是我发问的,向其他网友求助:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1206053010344
我有老花了。羞死了!
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发表于 31-5-2006 03:16 PM | 显示全部楼层
如果是那样的话,可能真的没有得积分了。我是过同样的方法不过行不通。但是如把“加”的符号改成“减”的话,却能用同样的方法了。

其实我做这题时也是一直看错。哈哈。
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发表于 31-5-2006 08:27 PM | 显示全部楼层
关于 power series

Find

1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + 1/5! + ...
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发表于 2-6-2006 02:32 AM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 31-5-2006 08:27 PM 发表
关于 power series

Find

1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + 1/5! + ...

因为
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
e^(-1)=1- 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ...
1-e^(-1)= 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + 1/5! - ...
解毕.
想问,若不知道e^x的expansion, 有什么方法做?
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发表于 2-6-2006 09:52 AM | 显示全部楼层
呵呵!我也不知道有没有其他的方法作。因为题目都说 power series 了

其实我觉得很多方法表示。比如用 sin x.cos x 的 expansion . 或则用 sinh x,cosh x 的。不过我还真没想到用 e^x
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发表于 2-6-2006 11:06 AM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 2-6-2006 09:52 AM 发表
呵呵!我也不知道有没有其他的方法作。因为题目都说 power series 了

其实我觉得很多方法表示。比如用 sin x.cos x 的 expansion . 或则用 sinh x,cosh x 的。不过我还真没想到用 e^x

哦,那个Power Series的意思就是告诉作答者这题必定要用到expansion的吗?我完全没想过这个字带来这些意思。刚开始我还打算用Sigma的方式来做。当然,做到半死。
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发表于 2-6-2006 11:18 AM | 显示全部楼层
我依稀记得有一个积分题目,也很不错

Int[ Sin[2005x]/Sin[x] dx ] from 0 -> Pi

对了,scoutfai 兄,你目前正在大专吗?
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发表于 4-6-2006 08:36 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 2-6-2006 11:18 AM 发表
我依稀记得有一个积分题目,也很不错

Int/Sin dx ] from 0 -> Pi

对了,scoutfai 兄,你目前正在大专吗?

我不是大专生,但今年是会进大专啦。去年才中六毕业。
这题暂时还没有头绪。已经半年没点功课了,惭愧。脑都生锈。
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发表于 4-6-2006 09:13 PM | 显示全部楼层
原帖由 Scoutfai 于 4-6-2006 08:36 PM 发表

我不是大专生,但今年是会进大专啦。去年才中六毕业。
这题暂时还没有头绪。已经半年没点功课了,惭愧。脑都生锈。


祝你好运!

至于那题,你认为为什么会有 2005 在题目里呢?

那么你认为把 2005 改成 2007 又有什么影响?

那么是否又有一个 general 的 pattern , in term of n ?
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发表于 6-6-2006 02:10 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 4-6-2006 09:13 PM 发表


祝你好运!

至于那题,你认为为什么会有 2005 在题目里呢?

那么你认为把 2005 改成 2007 又有什么影响?

那么是否又有一个 general 的 pattern , in term of n ?

为什么会有2005,大概是那年是2005年吧。
改成2007,也没有头绪。
只知道 sin nx/ sin x , 若n是奇数,答案是Pi,若是偶数,答案是0
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发表于 7-6-2006 08:24 AM | 显示全部楼层
原帖由 Scoutfai 于 6-6-2006 02:10 PM 发表

为什么会有2005,大概是那年是2005年吧。
改成2007,也没有头绪。
只知道 sin nx/ sin x , 若n是奇数,答案是Pi,若是偶数,答案是0


若是奇数,答案“不是 Pi”(不过也蛮接近的)
若是偶数,则没有一定的答案(最多只能用 reduction formula 来表示)
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发表于 7-6-2006 04:03 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 7-6-2006 08:24 AM 发表


若是奇数,答案“不是 Pi”(不过也蛮接近的)
若是偶数,则没有一定的答案(最多只能用 reduction formula 来表示)

n是奇数时,答案不是真正的π吗?和当n是偶数时,答案又不是0而且还是没答案!那么,我以下的做法哪里出错?

∫(sin nx/sin x) dx from 0 to π , n=1, 2, 3, ...
为方便,以下的积分符号皆是definite integration from 0 to π

∵           e^(inx) = cos nx + i sin nx
              e^(-inx)= cos nx - i sin nx
∴ e^(inx) + e^(-inx) = 2cos nx
   e^(inx) - e^(-inx) = 2i*sin nx

∫(sin nx/sin x) dx = ∫[e^(inx)-e^(-inx)]/[e^(ix)-e^(-ix)] dx
为方便,让   
             u = e^(ix)
     ∴ u^(-1) = e^(-ix)
           u^n = e^(inx)
        u^(-n) = e^(-inx)
  u^n + u^(-n) = 2cos nx

∴ ∫(sin nx/sin x) dx = ∫[u^n - u^(-n)]/[u - u^(-1)] dx

∵ ∑[a^(m-r)*b^(r-1)] from r=1 to r=m  = (a^m-b^m)/(a-b)
注:以下的∑皆是由r=1加到r=n
∴ [u^n - u^(-n)]/[u - u^(-1)] = ∑[u^(n-r)*u^(-r+1)] = ∑u^(n-2r+1)

∴ ∫(sin nx/sin x) dx = ∫∑u^(n-2r+1) dx
= ∫{u^(n-1) + u^(n-3) +...+ u^(3-n) + u^(1-n)} dx (注:有n个terms在这里.)
接下来便需要两个两个case来做

= ∫{[u^(n-1)+u^(1-n)] + [u^(n-3)+u^(3-n)] +...+ [u+u^(-1)] + 1} dx 如果n是奇数。OR
  ∫{[u^(n-1)+u^(1-n)] + [u^(n-3)+u^(3-n)] +...+ [u+u^(-1)] } dx 如果n是偶数。

= ∫{ 2cos (n-1)x + 2cos (n-3)x +...+ 2cos x + 1} dx 如果n是奇数。OR
  ∫{ 2cos (n-1)x + 2cos (n-3)x +...+ 2cos x } dx 如果n是偶数。

= [2/(n-1)*{sin (n-1)x} + 2/(n-3)*{sin (n-3)x} +...+ 2*sin x + x] from 0 to π. 如果n是奇数。 OR
  [2/(n-1)*{sin (n-1)x} + 2/(n-3)*{sin (n-3)x} +...+ 2*sin x ] from 0 to π. 如果n是偶数。

= {2/(n-1)*0 + 2/(n-3)*0 +...+ 2*0 + π} - {2/(n-1)*0 + 2/(n-3)*0 +...+ 2*0 + 0} 如果n是奇数。 OR
  {2/(n-1)*0 + 2/(n-3)*0 +...+ 2*0}      - {2/(n-1)*0 + 2/(n-3)*0 +...+ 2*0} 如果n是偶数。

= π, 如果n是奇数。 OR
  0, 如果n是偶数。

所以,结论
∫(sin nx/sin x) dx from 0 to π  = π, 如果n是奇数. OR  0, 如果n是偶数。
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发表于 7-6-2006 04:06 PM | 显示全部楼层
原帖由 Scoutfai 于 7-6-2006 04:03 PM 发表

n是奇数时,答案不是真正的π吗?和当n是偶数时,答案又不是0而且还是没答案!那么,我以下的做法哪里出错?

∫(sin nx/sin x) dx from 0 to π , n=1, 2, 3, ...
为方便,以下的积分符号皆是definite inte ...

这是很长的做法,我不是很喜欢。有没有更短的?你也放你的方法来看看
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发表于 7-6-2006 09:50 PM | 显示全部楼层
Scoutfai 兄,对不起,你的答案是对的!我讲错话了!因为我原本要给的题目是

0 -> Pi/2 而不是 0 -> Pi

不过刚才我检查后,觉得你的答案没有错!

我的做法是比较简单。不过你的也不错,值得参考!

首先证明 Int[Sin[nx]/Sin[x]] = Int[Sin(n-2)x/Sin[x]] from 0 -> Pi , n>1

之后就不难推出答案了!



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-6-2006 09:52 PM 编辑 ]
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发表于 7-6-2006 10:36 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 7-6-2006 09:50 PM 发表
Scoutfai 兄,对不起,你的答案是对的!我讲错话了!因为我原本要给的题目是

0 -> Pi/2 而不是 0 -> Pi

不过刚才我检查后,觉得你的答案没有错!

我的做法是比较简单。不过你的也不错,值得参考! ...

若知道了这个等式,要找出答案便不难。
但你如何知道需证明这个等式而不是其它等式?
还有你用什么方法证明?做完出来啦干嘛回答问题每次都写一半。
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发表于 7-6-2006 11:28 PM | 显示全部楼层
原帖由 Scoutfai 于 7-6-2006 10:36 PM 发表

若知道了这个等式,要找出答案便不难。
但你如何知道需证明这个等式而不是其它等式?
还有你用什么方法证明?做完出来啦干嘛回答问题每次都写一半。


Scoutfai 兄,别那么激动吗。

其实要知道用“什么等式”应该是要看经验吧?就好像你给的 solution 我就没有想到,我给的你也可能没有想到。不过如果曾经看过类似的题目话,可能就会“突然有灵感”吧!

我之所以不写完整,因为这里用的符号如果用 keyboard 的普通符号打出来一定不好看,所以我都尽量把看得简单又不长的 solution/hints 打上来。而且这么做的话,网友可以自己试试,毕竟自己试的话,自己体会最深

要证明的话不妨先写成 Int(0-> Pi)[{Sin[nx]-Sin(n-2)x}/Sin[x]] = 0 过后用 trigo identity

Sin[nx] - Sin(n-2)x = 2 Cos(n-1)x Sin x
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发表于 8-6-2006 12:29 AM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 7-6-2006 11:28 PM 发表


Scoutfai 兄,别那么激动吗。

其实要知道用“什么等式”应该是要看经验吧?就好像你给的 solution 我就没有想到,我给的你也可能没有想到。不过如果曾经看过类似的题目话,可能就会“突然有灵感”吧!

...

没有激动啦。
靠经验,好一句。所谓书中自有黄金屋,真的是要读多点书了。
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发表于 9-6-2006 01:00 AM | 显示全部楼层
有一个关于 Limit 的题目,可以试试

Find

Lim_{x->0} [Sin x + Sin 2x + Sin 3x + ... + Sin nx]/x = ?

where n is natural number .

对了 Scoutfai 兄,你要修读什么课系呢?
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发表于 9-6-2006 01:47 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 9-6-2006 01:00 AM 发表
有一个关于 Limit 的题目,可以试试

Find

Lim_{x->0} /x = ?

where n is natural number .

对了 Scoutfai 兄,你要修读什么课系呢?

为方便,让以下的 lim_{x->0} 都写成 lim 而已.
lim [(sinx + sin2x + sin3x +...+ sin nx)/x]
= lim [sinx/x] + lim [sin2x/x] +...+ lim [sin nx/x]
= 1 + 2 + 3 + ... + n
= (n/2)(1+n)

在政府大学的申请里头几个选择都是宇航工程和纯物理系课程。得不得到就是另一回事了。
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发表于 10-6-2006 12:49 PM | 显示全部楼层
原帖由 Scoutfai 于 9-6-2006 01:47 PM 发表

为方便,让以下的 lim_{x->0} 都写成 lim 而已.
lim  
= lim  + lim  +...+ lim
= 1 + 2 + 3 + ... + n
= (n/2)(1+n)

在政府大学的申请里头几个选择都是宇航工程和纯物理系课程。得不得到就是另一回 ...


没错,就是用这个。

我也看到一个不错的 limit 问题

Find Lim_{x-> oo} [ {(x+1)/(x+2)}^(2x) ]


原来 Scoutfai 兄对宇航学有兴趣,难怪连头像都用太空人的。相信未来宇航学应该会吃香,毕竟中国都开始注重着领域了。祝你成功。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 10-6-2006 12:51 PM 编辑 ]
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