代数：来玩玩吧

dunwan2tellu

这一招绝！

因为 a/(b-c) { (c-a)/b + (a-b)/c } = 2a^2/bc

所以 LHS = 3 + 2(a^3 +b^3+c^3)/abc = 3 + 6 = 9

因为 a^3 + b^3 + c^3 = 3abc (上面有证明）

dunwan2tellu

设 x,y,z 为实数，且

(x-y)/(1+xy) + (y-z)/(1+yz) + (z-x)(1+xz) = 0

证明 x,y,z 中必有两个相等。

dunwan2tellu

已知 abc = 1 , a+b+c=0 求

a/(ab+a+1）+ b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1) + a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b) = ?

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 30-4-2006 10:59 PM 发表
已知 abc = 1 , a+b+c=0 求

a/(ab+a+1）+ b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1) + a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b) = ?

a/(ab+a+1）+ b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1)
=a/(ab+a+1）+ ab/(abc+ab+a) + abc/(ac(ab)+abc+ab)
=a/(ab+a+1) + ab/(ab+a+1) + 1/(ab+a+1)
= 1

a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)
= a(ab+ac) + b(ab+bc) + c(bc+ac)
= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b)
= -(a^3 + b^3 + c^3)
= -3abc
= -3

所以
a/(ab+a+1）+ b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1) + a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)
= 1 + (-3) = -2

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 16-4-2006 10:32 PM 发表
设 x,y,z 为实数，且

(x-y)/(1+xy) + (y-z)/(1+yz) + (z-x)(1+xz) = 0

证明 x,y,z 中必有两个相等。

可把它转换成tan(A-B) + tan(B-C) + tan(C-A)
再利用tanX + tanY + tanZ = tanXtanYtanZ 的identity
看出X,Y,Z之中至少有一个是0。
得x=y或x=z或y=z.   QED

dunwan2tellu

答对了 hamilan911 !

试试这题（不难）

某 4 位数是个平方数。若在各位数(every digit)上加　１　则形成另一个平方数。求此数！

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 14-5-2006 04:41 PM 发表
答对了 hamilan911 !

试试这题（不难）

某 4 位数是个平方数。若在各位数(every digit)上加　１　则形成另一个平方数。求此数！

设那四位数为abcd.
1000a+100b+10c+d = p^2                   -(1)
1000(a+1)+100(b+1)+10(c+1)+(d+1) = q^2   -(2)
(2)-(1)
1111 = (q+p)(q-p)
而1111=1111 * 1 ，101 * 11
q+p = 1111 , q-p = 1  ->  q=556 , p=555 (但555^2 = 308025)
所以 q+p = 101 , q-p = 11  -> q=56 , p=45
45^2 = 2025
所以那数目是2025.

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 14-5-2006 08:26 PM 发表

设那四位数为abcd.
1000a+100b+10c+d = p^2                   -(1)
1000(a+1)+100(b+1)+10(c+1)+(d+1) = q^2   -(2)
(2)-(1)
1111 = (q+p)(q-p)
而1111=1111 * 1 ，101 * 11
q+p = 1111 , q-p = 1  -> ...

完全正确！夺冠有望！哈哈

dunwan2tellu

求所有的实数 x,y,z 使到

x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3

dunwan2tellu

Quadratic Equation(Form 6 + 一点点 A-level + 一点点独中程度) :

求所有的实数 a , 使到 f(x) = 2x^2 - 4ax + a^2 + a 在 0 =< x =< 3 的范围内的最小值是 0 .

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 24-5-2006 01:28 PM 编辑 ]

kee020041

原帖由 dunwan2tellu 于 24-5-2006 01:27 PM 发表
Quadratic Equation(Form 6 + 一点点 A-level + 一点点独中程度) :

求所有的实数 a , 使到 f(x) = 2x^2 - 4ax + a^2 + a 在 0 =< x =< 3 的范围内的最小值是 0 .

(答案 1)
f(x) = 2x^2 - 4ax + a^2 + a >=0  在 0 =< x =< 3.

f '(x) = 4x-4a

f(x) = minumum when f '(x) = 0
4x-4a=0, x = a

f(a) = 2a^2 - 4a^2 + a^2 + a  = - a^2 + a = 0
a = 0  or a = 1
x = a = 0 or 1,  0 =< x =< 3

（答案 2)
f(x) = 2x^2 - 4ax + a^2 + a
     = 2（x-a）^2   - a^2 + a

f(x) >=0,
2（x-a）^2   - a^2 + a >= 0

for f(x)=0
x = a
-a^2 + a = 0
a = 0 or a = 1.
x = a = 0 or 1,  0 =< x =< 3

dunwan2tellu

有趣的是，如果 a = -1 的话

f(x) = 2x^2 + 4x

f'(x) = 4x + 4

f'(x) = 0 ==> x = -1 is local minimum .

但是在 0 =< x =< 3 之间的时候 ，f'(x) > 0 。因此 f(x) is increasing function at 0 =< x =< 3.

所以 min{f(x)} = f(0) = 0 也符合条件 .所以 a 也可以 = -1 (还有另一个 value of a 也符合，总共 4 个 )

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 17-4-2007 06:18 PM 编辑 ]

kee020041

f(x) = 2x^2 - 4ax + a^2 + a >=0  在 0 =< x =< 3.
f '(x) = 4x-4a = 4(x-a)

(1) f(0) = 0,            f'(x) = positive in 0<=x<=3,
    a = 0       @ a = -1
f'(x) = 4x >= 0  @ f'(x) ==4（x+1）> 0 for 0<=x<=3
a = 0 & a = -1 is the answer.


（2）f（3)=0            f'(x) = negative in 0<=x<=3,
    a = 2                                      @     a = 9
f'(x) = 4(x-2) not always negatie ,              f'(x) = 4(x-9) <0   for 0<=x<=3
a = 9 is also the asnwer.


(3) f'(x)=0, and min{f(x)} is at 0<=x<=3
     x = a,           f(x) = f(a) = 0
                         a = 0 or a = 1
min{f(x)} is at x = 0 or x = 1, 0<=x<=3
a = 0    & a = 1 is the answer

答案
a = -1 , 0 , 1 , 9

dunwan2tellu

原帖由 kee020041 于 18-4-2007 08:17 AM 发表
f(x) = 2x^2 - 4ax + a^2 + a >=0  在 0 =< x =< 3.
f '(x) = 4x-4a = 4(x-a)

(1) f(0) = 0,            f'(x) = positive in 0<=x<=3,
    a = 0       @ a = -1
f'(x) = 4x >= 0   ...

全中！

andyl

原来这里有卧虎藏龙的高手~怎么近几年没人发贴了？

DADDY_MUMMY

原来这里有卧虎藏龙的高手~怎么近几年没人发贴了？
andyl 发表于 8-3-2010 01:46 PM

等你来的关系。

andyl

。。。。。