代数：来玩玩吧

dunwan2tellu

最近数学论坛里都冷清清的...就来些代数题跟大家分享 ...

1)找出(x,y,z)的所有实数解  
(x+y)(x+y+z)=120
(x+z)(x+y+z)=96
(y+z)(x+y+z)=72   

2)
x+y+z = 9
1/x + 1/y +1/z = 1
xy + xz + yz = 27   

3)
若a,b,c,d是方程组 x^4 -px^3 + qx^2 - px + r = 0 的四个实数解。那么试求出

{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(b+a)} / (a^2 +1)(b^2 + 1)

的值 。

4)
我选了４个整数，然后将其中３个抽出来加。同样的，我也把所有可能的组合抽３个后拿来加。之后我把所有得到的和再加起来得到５４。同时这４个数的积为３６０。请问那４个数是哪４个？  

5)
林先生天天到外地去工作，回来时都乘搭火车，然后再由妻子从火车站载回家。有一天，由于公司没什么工作，林先生就坐早一班的火车回来。到火车站时，他看到时间比他天天该到火车站的时间早了一小时。因此，林先生只好先步行回家。当他走到半途时，他看到他妻子的车正好驶来，所以过后便做车回家。终于到家了，林先生看一看时钟，既然比平时早２０分钟到家呢！请问，林先生究竟走了多久的路呢？

６）今年的愚人节，我收到了朋友送的一只手表。本来是很高兴的，不过隔天竟然发现到那表慢了８分钟。不只如此，而是每天都慢８分钟！我本想扔了，不过想想是朋友送的，不好意识扔所以只好继续收着咯！在还没过中秋节的有一天，我偶然对照一下那表的时间，发现竟然一样！奇怪，有谁能告诉我当天是几月几号吗？

7)试分解
(i)a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
(ii) (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3

８）1x2x3x4x...x2004x2005 乘出来后会有几个 0 在数目的后面？

９）我有天带我的狗去公园散步。公园离我家有段３６分钟的路程。在公园走累了后，我便和狗狗回家去。怎知这狗就是好动，行动可比我快一倍呢！我一时也没留意就被它先溜了回家。狗狗到家后看我还没到（当然啦，我用走的嘛！）就又跑向我的方向。一遇到我又掉头跑回去，丝毫没逗留片刻。同样的它又重复了一次回去后再过来。这次它过来后就被我抓住了。呵呵。从公园回来开始，究竟我用了多久才抓住它呢？

10)考你加法！
1 + 11 + 111 + 1111 +...+ 111..1=?

最后的１总共有２００５个！

11) 若a^2 + b^2 =1 , c^2 + d^2 = 1 , ac+bd=1 ,试找出
(i)ac-bd
(ii)a^2 + d^2
(iii)b^2 +c^2

12)２００３年初（既１月１日）我的两个朋友同时进入一家公司上班。这家公司的员工福利也真好，竟然给员工那么多天假期。就拿朋友A来说，他竟然每工作３天就放１天假。朋友B也差不多，每工作５天就放３天假。真够力！不过，当他们两同时没去上班时，就会相约到附近一家kopitiam去喝咖啡。就这样，日子一天天过去，直到２００５年尾（１２月３１日），公司宣布倒闭（大概是因为员工福利太＂好＂吧？），我这两个朋友就只好到那kopitiam去喝咖啡咯！当他们在喝得爽时，kopitiam老板的儿子就上前告诉他们说：＂叔叔，每次你们两一起来喝咖啡时，我都有记录哦！＂我那两个朋友赶紧看了那小孩的记录簿（只是普通的作业簿罢了），没想到他们一起来这kopitiam的次数也挺多的。到底他们一起去kopitiam以有几次了呢？

１３）我然你选两个正实数(Positive Real Number)，这两个数的积等于其和。他们还有一个特征就是其积是个自然数(Natural Number 或正整数）哦！那么这两个数的积至少也有多少呢？
*Positive Real Number 包括正整数，正小数，正分数，正有理及无理数...

14)今天有些无聊，就那起纸来开始从一写起 12345678910111213....不知觉的竟然写到了三位数的号码。我觉得好奇就从我写第一个digit开始数起直到第2005个digit才停（可能累了吧？）。猜猜看那个digit是多少？

15)你们有没有留意到，1,2,3,4....9999,10000 里总共有多少个8呢？

16)请找出所有x,y,z的正实数解(x,y,z <-R+ )

x + y + z = 12
xy + xz + yz = 48

17)已知 a^2+2b=7 ; b^2+4c=-7 ; c^2+6a=-14 .且a,b,c都为实数

试证明 a^4 + b^4 + c^4 可以被 7 整除。

18)请问共有几个正整数 n ，使到 n^3- 8n^2 + 20n -13 是质数(prime)


19)若1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z) = 1 . 试证明x,y,z中至少有一个是１

20)若 a 是 一元二次 x^2 - 2005x + 1 = 0 的解，试找出

a^2 - 2004a ＋ 2005/(a^2+1) 的值。

21)如果存在着实数a,b,c 使到 a-b=8 , ab+c^2 +16 = 0

那么 a^2005 + b^2005 + c^2005 =?  

22)已知 a+b = 60 , ab=c^2-72c+1920 且 a,b,c都是整数。请找出a,b,c所有的实数解。

23)
若a,b都是整数，使到一元二次 x^2 + ax + b + 1 = 0 有自然数解。请问 a^2 + b^2 会是质数(prime)吗？试证明。

24)有两兄弟年龄都是不百。当他们把年龄合并时会得到一个４位数，而这４位数正好是平方数。九年后他们再次把年龄合并，得到的４位数同样是个平方数（神气吧！）。请问这两兄弟的原本年龄是几岁呢？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-8-2005 11:35 PM 编辑 ]

Aloneboy

我今年F4,由于整年荒廢學業...
数学只剩下F3得程度...mate tam也只會作到bab2..
我住柔佛新山..有誰要交補習的？？我要補mate tam...

kwdwr

1) z=2,y=4,x=6
2) x=3,y=3,z=3

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 21-7-2005 05:43 PM 发表
最近数学论坛里都冷清清的...就来些代数题跟大家分享 ...

1)找出(x,y,z)的所有实数解
(x+y)(x+y+z)=120
(x+z)(x+y+z)=96
(y+z)(x+y+z)=72

2)
x+y+z = 9
1/x + 1/y +1/z = 1
xy + xz + yz = 27

1)找出(x,y,z)的所有实数解
(x+y)(x+y+z)=120---(1)
(x+z)(x+y+z)=96----(2)
(y+z)(x+y+z)=72----(3)
(1)+(2)+(3),
2(x+y+z)^2=288
x+y+z=12

(1):x+y=10
(2):x+z=8
(3):y+z=6

(1)-(3)+(2),
2x=12
x=6
=>y=4
=>z=2





2)
x+y+z = 9
1/x + 1/y +1/z = 1
xy + xz + yz = 27

1/x + 1/y +1/z = 1
(xy+yz+zx)/xyz=1
=>xyz=27

x,y,z為此方程式的三根
t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = 0
(t-3)(t-3)(t-3)=0
=>x=y=z=3

[ 本帖最后由 灰羊 于 21-7-2005 11:39 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

答对了！方法也就如灰羊所解的。

dunwan2tellu

呵呵再来一题！

若a,b,c,d是方程组 x^4 -px^3 + qx^2 - px + r = 0 的四个实数解。那么试求出

{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(b+a)} / (a^2 +1)(b^2 + 1)

的值 。

dunwan2tellu

这也蛮好玩的！

我选了４个整数，然后将其中３个抽出来加。同样的，我也把所有可能的组合抽３个后拿来加。之后我把所有得到的和再加起来得到５４。同时这４个数的积为３６０。请问那４个数是哪４个？

kwdwr

请问4个数的积是不是说把4个数成起来？
对不起，不太会看华文的数学词汇。

(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)=54
3(a+b+c+d)=54
a+b+c+d=18
abcd=360

呵呵，是3，4，5，6 吗？
3+4+5+6=18，3*4*5*6=360 ？

dunwan2tellu

原帖由 kwdwr 于 22-7-2005 11:29 PM 发表
请问4个数的积是不是说把4个数成起来？
对不起，不太会看华文的数学词汇。

(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)=54
3(a+b+c+d)=54
a+b+c+d=18
abcd=360

呵呵，是3，4，5，6 吗？
3+4+5+6=18，3*4*5*6=360 ？

答案对了！再来 积 ＝ 乘

dunwan2tellu

这题有些难度哦！

林先生天天到外地去工作，回来时都乘搭火车，然后再由妻子从火车站载回家。有一天，由于公司没什么工作，林先生就坐早一班的火车回来。到火车站时，他看到时间比他天天该到火车站的时间早了一小时。因此，林先生只好先步行回家。当他走到半途时，他看到他妻子的车正好驶来，所以过后便做车回家。终于到家了，林先生看一看时钟，既然比平时早２０分钟到家呢！请问，林先生究竟走了多久的路呢？

dunwan2tellu

６）今年的愚人节，我收到了朋友送的一只手表。本来是很高兴的，不过隔天竟然发现到那表慢了８分钟。不只如此，而是每天都慢８分钟！我本想扔了，不过想想是朋友送的，不好意识扔所以只好继续收着咯！在还没过中秋节的有一天，我偶然对照一下那表的时间，发现竟然一样！奇怪，有谁能告诉我当天是几月几号吗？

kwdwr

原帖由 dunwan2tellu 于 23-7-2005 12:03 AM 发表
这题有些难度哦！

林先生天天到外地去工作，回来时都乘搭火车，然后再由妻子从火车站载回家。有一天，由于公司没什么工作，林先生就坐早一班的火车回来。到火车站时，他看到时间比他天天该到火车站的时间早了一 ...

他走了50分钟。
x+y= 火车站和家的距离
2y=  车子省了的路
平日来回：2(x+y)=z
那天来回：2x=z-20
y=10分钟。
早60分钟从火车站走回家，他走了50分钟。遇见太太，所以早了20分钟到家。

kwdwr

原帖由 dunwan2tellu 于 23-7-2005 12:47 AM 发表
６）今年的愚人节，我收到了朋友送的一只手表。本来是很高兴的，不过隔天竟然发现到那表慢了８分钟。不只如此，而是每天都慢８分钟！我本想扔了，不过想想是朋友送的，不好意识扔所以只好继续收着咯！在还没过中秋 ...

6月30。12*60/8=90天

dunwan2tellu

原帖由 kwdwr 于 23-7-2005 01:02 AM 发表


他走了50分钟。
x+y= 火车站和家的距离
2y=  车子省了的路
平日来回：2(x+y)=z
那天来回：2x=z-20
y=10分钟。
早60分钟从火车站走回家，他走了50分钟。遇见太太，所以早了20分钟到家。

答案对！解法也很不错！我还以为这题会棘手些，没想到三两就被解决...呵呵

原帖由 kwdwr 于 23-7-2005 01:16 AM 发表

6月30。12*60/8=90天

恭喜你再次答对！

dunwan2tellu

好吧，这次就考考你们的分解功力！

7)试分解
(i)a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
(ii)(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 24-7-2005 02:03 AM 编辑 ]

kwdwr

原帖由 dunwan2tellu 于 23-7-2005 01:31 AM 发表

答案对！解法也很不错！我还以为这题会棘手些，没想到三两就被解决...呵呵

恭喜你再次答对！

谢谢你。可是我不会做这两题。

若a,b,c,d是方程组 x^4 -px^3 + qx^2 - px + r = 0 的四个实数解。那么试求出

{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(b+a)} / (a^2 +1)(b^2 + 1)

的值 。

试分解
a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)

等着答案呢！

dunwan2tellu

别急，先让其他网友试试吧！你也先试试嘛，第４题可以用违大定理来做...看来得再出几题...呵呵

８）1x2x3x4x...x2004x2005 乘出来后会有几个 0 在数目的后面？

９）我有天带我的狗去公园散步。公园离我家有段３６分钟的路程。在公园走累了后，我便和狗狗回家去。怎知这狗就是好动，行动可比我快一倍呢！我一时也没留意就被它先溜了回家。狗狗到家后看我还没到（当然啦，我用走的嘛！）就又跑向我的方向。一遇到我又掉头跑回去，丝毫没逗留片刻。同样的它又重复了一次回去后再过来。这次它过来后就被我抓住了。呵呵。从公园回来开始，究竟我用了多久才抓住它呢？

10)考你加法！

1 + 11 + 111 + 1111 +...+ 111..1=?

最后的１总共有２００５个！呵呵够大吧！

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 24-7-2005 02:28 AM 编辑 ]

fritlizt

原帖由 dunwan2tellu 于 23-7-2005 09:49 PM 发表
别急，先让其他网友试试吧！你也先试试嘛，第４题可以用违大定理来做...看来得再出几题...呵呵

８）1x2x3x4x...x2004x2005 乘出来后会有几个 0 在数目的后面？

９）我有天带我的狗去公园散步。公园离我家有 ...

8. 500个。？
我是算每一个5有一个零，每一个25有两个零， 每一个125有三个零， 每一个625有四个零。
所以总共是 2005/5 + 2005/25 + 2005/125 + 2005/625 = 500
535是刚才按错计算机。

9. 32分钟]
狗的速度比我快一倍， 我走18分钟， 狗就到家了。 接下来他就以块我一倍的速度向我冲来，就是说当我走多三分之一的路程的时候， 就会遇到它。也就是6分钟。 如此类推， 我走多6分钟， 狗又到家了， 又走多2分钟， 又会遇到狗。加上来等于32分钟。

10. 迟点在回答．

[ 本帖最后由 fritlizt 于 24-7-2005 05:23 PM 编辑 ]

kwdwr

10. 是不是

1234567901234567901234567901.......1234567901212345
(一共2005个数字)   ？

dunwan2tellu

原帖由 kwdwr 于 24-7-2005 12:23 PM 发表
10. 是不是

1234567901234567901234567901.......1234567901212345
(一共2005个数字)   ？

对不起，错了。请再试试。

原帖由 fritlizt 于 24-7-2005 10:15 AM 发表


8. 535 个零？？

9. 32分钟

第九题对了。第八题并没那么多零。不防把步骤写下，酱其他网友也有机会做参考。