初等不等式训练(题目在第1页)

dunwan2tellu

(i)已知x,y,z都是实数，且 x^2 + y^2 + z^2 = 1 ,求证：

-1/2 =< xy + xz + yz =< 1

(ii)若 a,b,c,d 都为正实数，且满足 a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd
证明 a = b = c = d

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 15-3-2006 03:31 PM 发表
(i)已知x,y,z都是实数，且 x^2 + y^2 + z^2 = 1 ,求证：

-1/2 =< xy + xz + yz =< 1

(ii)若 a,b,c,d 都为正实数，且满足 a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd
证明 a = b = c = d

(i)
(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 >= 0
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz >= 0
xy + xz + yz =< (x^2 + y^2 + z^2)
             =< 1
(x+y+z)^2 >= 0
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz >= 0
xy + xz + yz >= -(x^2 + y^2 +z^2)/2
             >= -1/2

(ii)用AM-GM
(a^4 + b^4 + c^4 + d^4)/4 >= abcd
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 >= 4abcd
equality hold when a=b=c=d

dunwan2tellu

翻旧贴时看到的...

a,b,c>0 且 x = (a+2b)/(a+2c) , y = (b+2c)/(b+2a) , z = (c+2a)/(c+2b)

证明 : x^3 + y^3 + z^3 >= 3

dunwan2tellu

a,b,c >0 且 abc = 1 ,证明

(i) a^2 + b^2 + c^2 >= a + b + c

(ii) (ab + ac + bc)^2 >= 3(a+b+c)

(iii) 1 + 3/(a+b+c) >= 6/(ab + ac + bc)


*** 提示: (ii) 和 (iii) 有关联。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 23-3-2006 03:55 PM 发表
a,b,c >0 且 abc = 1 ,证明

(i) a^2 + b^2 + c^2 >= a + b + c

(ii) (ab + ac + bc)^2 >= 3(a+b+c)

(iii) 1 + 3/(a+b+c) >= 6/(ab + ac + bc)


*** 提示: (ii) 和 (iii) 有关联。

(i)用cauchy
   (1+1+1)(a^2+b^2+c^2) >= (a+b+c)^2
   a^2+b^2+c^2 >= (a+b+c)^2 /3
               >= a+b+c       ( a+b+c >= 3 (am-gm))
(ii)用am-gm
   (ab)^2 + (ac)^2 >= 2a  -> sum(ab)^2 >= a+b+c
   (ab + ac + bc)^2  = sum (ab)^2 + 2sum(a^2bc)
                    >= a+b+c + 2(a+b+c)
                    >= 3(a+b+c)
(iii)3sqrt3 + 3sqrt{3/X} >= 6
    (X+3)sqrt{3X} = X(3sqrt3 + 3sqrt{3/X})  >= 6X
    X = a+b+c
    (a+b+c+3)(ab+bc+ac) >= (a+b+c+3)sqrt{3(a+b+c)}
                        >= 6(a+b+c)
    (a+b+c+3)/(a+b+c)  >= 6/(ab+bc+ac)
    1 + 3/(a+b+c) >= 6/(ab + ac + bc)

dunwan2tellu

一个值得记住的不等式：

a,b,c>0 ，那么  9(a+b)(a+c)(b+c) >= 8(a+b+c)(ab+ac+bc)

为何呢？注意到他有 (a+b)(a+c)(b+c) , a+b+c 和 ab+ac+bc 在里面。所以我们可以用它来转换去另一个不等式。

比如若给与 a,b,c>0 叫你证明 3(a+b)(a+c)(b+c)(a+b+c)>= 8(ab+ac+bc)^2 的话，你就可以运用上面的不等实现消除掉一部分，然后剩下
(a+b+c)^2 >= 3(ab+ac+bc) 那么就容易证明得多...

(i) a,b,c>0 且 abc=1 , 求证

27(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 >= 64(a+b+c)^3

(ii) a,b,c>0 且 (a+b)(a+c)(b+c)=1 ,求证

ab + ac + bc =< 3/4

上面的题目看起来好像有两下子，不过只要善用上面的不等式，题目就不难迎刃而解。

dunwan2tellu

Nesbitt Inequality :

a,b,c>0 证明

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2

附加题：

a,b,c > 0 求证

(a^2 + bc)/a(b+c) + (b^2+ac)/b(a+c) + (c^2+bc)/c(a+b) >= 3

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 25-3-2006 10:45 AM 发表
一个值得记住的不等式：

a,b,c>0 ，那么  9(a+b)(a+c)(b+c) >= 8(a+b+c)(ab+ac+bc)

为何呢？注意到他有 (a+b)(a+c)(b+c) , a+b+c 和 ab+ac+bc 在里面。所以我们可以用它来转换去另一个不等式。

比 ...

(i)
从9(a+b)(a+c)(b+c) >= 8(a+b+c)(ab+ac+bc)
81(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 >= 64(a+b+c)^2(ab+ac+bc)^2
27(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 >= 64/3*(a+b+c)^2(ab+ac+bc)^2
但(a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)  (am-gm)
所以27(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 >= 64(a+b+c)^3

(ii)
ab + ac + bc =< 9(a+b)(a+c)(b+c)/8(a+b+c)
             =< 9/8(a+b+c)
[(a+b)+(b+c)+(a+c)]/3 >= 1    (am-gm)
所以 a+b+c >= 3/2
ab + ac + bc =< 9/8 * 2/3
             =< 3/4

证明9(a+b)(a+c)(b+c) >= 8(a+b+c)(ab+ac+bc)
9(a+b)(a+c)(b+c)  = 9[sum{a^2b} + 2abc]
8(a+b+c)(ab+ac+bc)= 8[sum{a^2b} + 3abc}
但 sum{a^b} >= 6abc
故以上等式成立。

dunwan2tellu

另一种证明方法是用 identity

(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc

所以
9(a+b)(a+c)(b+c) = 9(a+b+c)(ab+ac+bc) - 9abc
= 8(a+b+c)(ab+bc+ac) + (a+b+c)(ab+ac+bc)-9abc

不过 AM-GM : (a+b+c)(ab+ac+bc) >= 9abc <==> (a+b+c)(ab+ac+bc)-9abc >=0

所以 9(a+b)(a+c)(b+c) >= 8(a+b+c)(ab+ac+bc)

dunwan2tellu

还有一题 Nesbitt

再出一题！

若 a+b+c=1 , 且 a,b,c>0 求证

sqrt{ab + c} +　sqrt{ac +b} + sqrt{ bc+a } >= 1 + sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 25-3-2006 04:09 PM 发表
Nesbitt Inequality :

a,b,c>0 证明

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2

附加题：

a,b,c > 0 求证

(a^2 + bc)/a(b+c) + (b^2+ac)/b(a+c) + (c^2+bc)/c(a+b) >= 3

(i)AM-HM
  [a/(b+c) + 1 + b/(a+c) + 1 + c/(a+b) + 1]/3 >= 3/2*(a+b+c)/(a+b+c)
  a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 >= 9/2
  a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2  

(ii)
已知a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2    -(1)
[bc/a(b+c) + 1 + ac/b(a+c) + 1 + ab/c(a+b) + 1]/3 >= 3/2*(ab+ac+bc)/(ab+bc+ac)
bc/a(b+c) + ac/b(a+c) + ab/c(a+b) + 3 >= 9/2
bc/a(b+c) + ac/b(a+c) + ab/c(a+b) >=3/2  -(2)
(1)+(2)
(a^2 + bc)/a(b+c) + (b^2+ac)/b(a+c) + (c^2+bc)/c(a+b) >= 3

dunwan2tellu

对了！请你也试试上面那题 square root 的吧！很不错一下！

dunwan2tellu

想知道不等式有何运用？这就是其中之一。

解方程组：

abc = 1 , a^2 + b^2 + c^2 = a + b + c

求 a,b,c 的正实数解。

不过如果你看 #104 的话，你会发现到当 a,b,c>0 且 abc=1 时，

a^2 + b^2 + c^2 >= a + b + c

等式成立仅当 a=b=c=1 .所有上面的方程组的唯一解是 a=b=c=1 .

看了例子，不如就来亲身体验吧！

题目：

a + b = 2 , 2^(a^4 + b^2) + 2^(a^2 + b^4) = 8

求　ａ，ｂ的正实数解。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 2-4-2006 03:17 PM 发表
想知道不等式有何运用？这就是其中之一。

解方程组：

abc = 1 , a^2 + b^2 + c^2 = a + b + c

求 a,b,c 的正实数解。

不过如果你看 #104 的话，你会发现到当 a,b,c>0 且 abc=1 时，

a^2 + b^2 ...

[2^(a^4 + b^2) + 2^(a^2 + b^4)]/2 >= sqrt{2^(a^4 + b^4 + a^2 +b^2)}
得a^4 + b^4 + a^2 + b^2 =< 4
但a^4 + b^4 >= (a^2 + b^2)^2 /2
a^2 + b^2 >= (a+b)^2 /2 = 2
得a^4 + b^4 + a^2 + b^2 >= 2 + 2 = 4
所以a^4 + b^4 + a^2 + b^2 = 4
得a=b=1

[ 本帖最后由 hamilan911 于 3-4-2006 03:15 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 2-4-2006 04:45 PM 发表

[2^(a^4 + b^2) + 2^(a^2 + b^4)]/2 >= sqrt{2^(a^4 + b^4 + a^2 +b^2)}
2^(a^4 + b^2) + 2^(a^2 + b^4) = 8
得a^4 + b^4 + a^2 + b^2 = 4
而a^4 + b^4 + a^2 + b^2 >= 2ab(a+b) = 4ab
所以ab = 1
a ...

红色部分起有误。

dunwan2tellu

好！试试这题！

若 a,b,c>0 且 a + b + c = abc 求证

1/sqrt{a^2+1} + 1/sqrt{b^2+1} + 1/sqrt{c^2+1} =< 3/2

**提示：用适当的substitution后，可以用Jensen来做。不过！我想看看有没有人能用 #106 “一个值得记住的不等式”来做。

dunwan2tellu

又一个“值得记住的不等式”的运用：

x,y,z>0 ,求证

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(x+z) =< 3(x+y+z)/2(xy+xz+yz)

dunwan2tellu

没想到Cauchy 竟然有这等能耐！

题目：
x,y>0 求证： 1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 >= 1/(xy+1)

证法：

用 Cauchy  (y+x)(1+xy) >= (sqrt{y} + x.sqrt{y})^2 = y(x+1)^2
所以 1/(x+1)^2 >= y/(y+x)(1+xy)
同理 1/(y+1)^2 >= x/(x+y)(1+xy)
两式相加得 1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 >= (x+y)/(x+y)(1+xy) = 1/(1+xy)
证毕。

若用expand 出来的话确实也不难得到（你可以试试），不过cauchy 解真得很美。

dunwan2tellu

奇怪分数不等式？

求证：

1/2006 < 1/2 * 3/4 * 5/6 ... * 2005/2006 < 1/44

别想得太复杂

dunwan2tellu

a,b,c>0 求证：

a^3 + b^3 + c^3 >= a^2b + b^2c + c^2a

** 应该用什么来证明呢？