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初等不等式训练(题目在第1页)

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发表于 17-6-2005 10:24 AM | 显示全部楼层 |阅读模式
各位老朋友,新朋友...好!!!
我又出现了
这一次,带给大家比较"专业"的训练。
也因为时间上的关系,暂时专攻"初等不等式"。
最基本的不等式,当然便是 AM-GM 不等式,如下:

现在介绍另一个"好用"的不等式:柯西不等式。

另一种不等式:

另一种"好用"不等式:


我会不时在此贴编辑,敬请大家留意,谢谢!!

[ Last edited by pipi on 30-6-2005 at 08:44 AM ]
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 楼主| 发表于 17-6-2005 10:27 AM | 显示全部楼层
那由 AM-GM 不等式, 我们可以先来玩玩以下的问题

这么快就解了这 5 题,那么试试以下的吧!!

不错!不错!题目会越来越好玩。暂时试试:

再来还是应用基本的 AM-GM 不等式, 试试吧:

可能要用"柯西不等式"了,试试:

来玩玩这些(也许Jensen Inequality 会帮忙不少):

再来玩玩:


多普勒效应报到!
小弟也提供一些不等式 =D
下列基本上都是讨论实数,括号里的是条件。
ms word 有问题,只好在 MathType 那边 print screeen 过来
字体不清,多多原谅 =P
(注: 第八题是 R+ ,不是 R-)
(第二题: d=max{a,b,c,d}



我会不时在此贴编辑,敬请大家留意,谢谢!!

[ Last edited by 多普勒效应 on 5-7-2005 at 04:12 PM ]
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发表于 17-6-2005 12:27 PM | 显示全部楼层
[1] 取 x_1 = x, x_2 = 1/x, n=2 ;

[2] 左手边 = (x^2 + 1) / √(x^2 + 1)  + 1 / √(x^2 + 1)

           = √(x^2 + 1) + 1 / √(x^2 + 1)

取 u = √(x^2 + 1), 引用 [1] 即解 .

[3] 排一下再引用 [1] 即解 (取 u = x^2).


原谅铁蛋吧!

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发表于 17-6-2005 05:31 PM | 显示全部楼层
pipi 于 17-6-2005 10:27  说 :
那由 AM-GM 不等式, 我们可以先来玩玩以下的问题


我会不时在此贴编辑,敬请大家留意,谢谢!!


pipi歡迎回來
這裡現在好冷清///
你開這個專欄不錯
我學校只學普通的不等式沒學算幾
因為老師說沒有考...
現在總算有人教了
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发表于 17-6-2005 08:23 PM | 显示全部楼层
灰羊 于 17-6-2005 17:31  说 :


pipi歡迎回來
這裡現在好冷清///
你開這個專欄不錯
我學校只學普通的不等式沒學算幾
因為老師說沒有考...
現在總算有人教了

第三題
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 楼主| 发表于 17-6-2005 08:34 PM | 显示全部楼层
铁兄,你又来凑一脚了...
灰羊,谢谢你的支持!!

大家也来试试以下的吧!!
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发表于 17-6-2005 11:17 PM | 显示全部楼层
pipi 于 17-6-2005 08:34 PM  说 :
铁兄,你又来凑一脚了...
灰羊,谢谢你的支持!!

大家也来试试以下的吧!!



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发表于 17-6-2005 11:22 PM | 显示全部楼层
pipi老师,你回来了啊!
如果过后忙的话,可以选题然后我代你贴上来 ;-)
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发表于 18-6-2005 12:06 AM | 显示全部楼层
pipi 于 17-6-2005 20:34  说 :
铁兄,你又来凑一脚了...
灰羊,谢谢你的支持!!

大家也来试试以下的吧!!

有快點的方法嗎?


[ Last edited by 灰羊 on 18-6-2005 at 03:15 PM ]
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发表于 18-6-2005 12:12 AM | 显示全部楼层
就是咯。。。第八题我也是解得挺长的。。。不过我偷吃太多步了

[ Last edited by dunwan2tellu on 18-6-2005 at 04:13 PM ]
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 楼主| 发表于 18-6-2005 09:19 AM | 显示全部楼层
不错!不错!题目会越来越好玩。暂时试试:


多普勒效应 于 17-6-2005 11:22 PM  说 :
pipi老师,你回来了啊!
如果过后忙的话,可以选题然后我代你贴上来 ;-)

先谢谢你了

灰羊 于 18-6-2005 12:06 AM  说 :
有快點的方法嗎?

我只是一直重复应用第五题的 idea 来解第六,七,八题。
快點的方法
大家再努力努力!!
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发表于 18-6-2005 03:18 PM | 显示全部楼层
pipi 于 18-6-2005 09:19  说 :
不错!不错!题目会越来越好玩。暂时试试:



先谢谢你了


我只是一直重复应用第五题的 idea 来解第六,七,八题。
快點的 ...

可能要用更強的不等式...
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发表于 18-6-2005 03:40 PM | 显示全部楼层
pipi 于 18-6-2005 09:19  说 :
不错!不错!题目会越来越好玩。暂时试试:



先谢谢你了


我只是一直重复应用第五题的 idea 来解第六,七,八题。
快點的 ...

現在搞定了
但如果我們之前沒做過(7)
又會不會解呢...會不會想到要這樣解呢?



[ Last edited by 灰羊 on 18-6-2005 at 04:08 PM ]
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发表于 18-6-2005 03:46 PM | 显示全部楼层
pipi 于 18-6-2005 09:19 AM  说 :
不错!不错!题目会越来越好玩。暂时试试:


我 来 试 第9  题

设 x=ab , y=ac , z=bc

(x+y+z)^2 = x^2 +y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)
               >=(xy+yx+xz)  + 2 (xy+yz+xz)   ( 用x^2+y^2>=2xy )
                =3(xy + yz + xz )

得 x+y+z >= sqrt {3(xy+xz+yz)}

将a,b,c  带 入 即 可 得 不 等 式

[ Last edited by dunwan2tellu on 18-6-2005 at 03:48 PM ]
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发表于 18-6-2005 04:09 PM | 显示全部楼层
dunwan2tellu 于 18-6-2005 15:46  说 :


我 来 试 第9  题

设 x=ab , y=ac , z=bc

(x+y+z)^2 = x^2 +y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)
               >=(xy+yx+xz)  + 2 (xy+yz+xz)   ( 用x^2+y^2>=2xy )
                =3(xy + yz + x ...

原來dunwan2tellu已經想到更好的方法....
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发表于 18-6-2005 04:13 PM | 显示全部楼层
以下是算幾不等式的加權形式

原來tiny的圖只能放一天

[ Last edited by 灰羊 on 19-6-2005 at 02:13 PM ]
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发表于 18-6-2005 04:18 PM | 显示全部楼层
灰羊 于 18-6-2005 04:09 PM  说 :

原來dunwan2tellu已經想到更好的方法....


  其 实 大 质 上 一 样。

灰羊 于 18-6-2005 04:13 PM  说 :
以下是算幾不等式的加權形式


[ Last edited by 灰羊 on 18-6-2005 at 04:15 PM ]



  好 不 错 的 一 个 不 等 式

[ Last edited by dunwan2tellu on 18-6-2005 at 04:28 PM ]
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发表于 19-6-2005 12:31 PM | 显示全部楼层
这里有几题不等试

1)a,b,c为三角形的三边,试证明

√(a + b - c) + √(b + c - a) + √(c + a - b) ≤ √a + √b + √c


2) 若a,b,c >0 且 满 足 1/a + 1/b + 1/c = 1 , 试 证 明

√(a + bc) + √(b + ca) + √(c + ab) ≥ √(abc) + √a + √b + √c


欢迎大家来试

[ Last edited by dunwan2tellu on 19-6-2005 at 12:41 PM ]
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 楼主| 发表于 20-6-2005 09:04 AM | 显示全部楼层
再来还是应用基本的 AM-GM 不等式, 试试吧:


灰羊 于 18-6-2005 04:13 PM  说 :
原來tiny的圖只能放一天

那么尝试 img.photobucket.com 吧,我觉得它还好
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发表于 20-6-2005 05:08 PM | 显示全部楼层
先试试13,14

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