integration and differentiation

白羊座aries

1. If z = 2xy + x -xf(y/x), where f is a differentiable function , show that x dz/dx + y dz/dy = z + 2xy . 2. Evaluate the following integrals:
(a) Integral x/ (x^3 + 27) dx      (b) Integral (x + 3) / sqrt(x^2 + 2x - 10 ) dx

3. If Fn= Integral cot^n x dx ( n > 1 ), show that Fn = - (cot^n - 1 x / n - 1) - Fn-2 . Hence , determine F5.

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1. If z = 2xy + x -xf(y/x), where f is a differentiable function , show that x dz/dx + y dz/dy = z + ...
白羊座aries 发表于 4-7-2012 03:24 PM

    1.      z=2xy+x-xf(y/x)
   f(y/x)=2y+1-(z/x)

  dz/dx=2y+1-{x[f'(y/x)][-y/x^2]+f(y/x)]
  dz/dx=2y+1+(y/x)f'(y/x)-f(y/x)

  dz/dy=2x-x[f'(y/x)][1/x]
  dz/dy=2x-f'(y/x)
  f'(y/x)=2z-dz/dy

  dz/dx=2y+1+(y/x)(2z-dz/dy)-[2y+1-(z/x)]
x(dz/dx)+y(dz/dy)=z+2xy

2(a) ∫x/(x^3+27) dx
      =∫[(x+3)/(9(x^2-3x+9)) - 1/(9(x+3))] dx
      =∫[(x-3/2)/(9(x^2-3x+9))+1/(2(x^2-3x+9)) - 1/(9(x+3))] dx
      =(1/18)ln(x^2-3x+9)+[(√3)/9]arctan[(2x-3)/(3√3)]-(1/9)ln|x+3|+C


2(b) ∫(x+3)/√(x^2+2x-10) dx
      =∫(x+1)/√(x^2+2x-10) dx + ∫2/√(x^2+2x-10) dx
      =√(x^2+2x-10) + ∫2/√[(x+1)^2-11] dx


for ∫2/√[(x+1)^2-11] dx, Let x+1=(√11) sec u, dx=(√11)tan u sec u du


∫2/√[(x+1)^2-11] dx=∫2/√[(11sec^2 u)-11] (√11)tan u sec u du
                                =2∫ sec u du
                                =2ln|sec u +tan u|+C
                                =2ln|x+1+x^2+2x-10|-ln(11)+C


∫(x+3)/√(x^2+2x-10) dx=√(x^2+2x-10)+2ln|x+1+√(x^2+2x-10)|+C




3. F_n=∫cot^n x dx     ( n > 1 )
    F_n=∫[(cos x)/(sin^n x)]cos^(n-1) x dx


Let   u=cos^(n-1) x                                                  dv/dx=(cos x)/(sin^n x)
du/dx=-(n-1)[cos^(n-2) x][sin x]                                     v=1/(1-n)[1/sin^(n-1) x]

F_n=∫[(cos x)/(sin^n x)]cos^(n-1) x dx
F_n=[cos^(n-1) x]/(1-n)[1/sin^(n-1) x]-∫{1/(1-n)[1/sin^(n-1) x]}{-(n-1)[cos^(n-2) x][sin x]} dx
F_n=[-1/(n-1)][cot^(n-1) x]-∫cot^(n-2) x dx
F_n=[-1/(n-1)][cot^(n-1) x]-F_(n-2)


F_5自己找