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【数学】来吃一顿数学大餐!

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楼主: 微中子       显示全部楼层   阅读模式

楼主
发表于 29-5-2003 05:55 PM | 显示全部楼层 |阅读模式
呵呵!下个星期微中子就要上大学去了。微中子精心设计了一个数学大餐,以飨网友们。

第一道开胃菜!

"4x^2 - y^2 = 59
  求x和y。(x,y必须是整数。)"

好了,现在是主餐的时候了。

第二道菜。

"113400一共有几个正数的因数?这些因数之间的和又是什么呢?
  1372140,1215000和2619540之间一共有几个正数的公因数?
  7436的正数因数之间相乘所得到的积数是什么?"

第三道菜,甜品的时候了。呵呵!

"(i+1) + (i+1)^2 + (i+1)^3 + ... + (i+1)^100 = ?"

网友们请慢慢享受。我呢,赶着在去马大之前多吃一些槟城的食物!
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发表于 30-5-2003 12:11 AM | 显示全部楼层
1 & 2 太难了......!
试试甜品题。

ANS:  ( 4^25 + 1) ( i - 1 )  

对吗?

[ Last edited by 甄贾宝玉 on 29-5-2003 at 05:02 PM ]
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发表于 30-5-2003 01:01 AM | 显示全部楼层
第三题解:

   (i+1)^1 = i+1
   (i+1)^2 = 2i
   (i+1)^3 = 2i-2
   (i+1)^4 = -4
以后重复.
前四项的和为 5i-5 = 5(i-1) = 5a    (假设 a = i-1)

所以 (i+1) + (i+1)^2 + (i+1)^3 + ... + (i+1)^100
   = [ 5(4^0) - 5(4^1) + ... - 5(4^23) + 5(4^24) ]a
   = [ (4^0+4^1) - (4^1+4^2) + ... - (4^23+4^24) + (4^24+4^25) ]a
   = [ 4^0 + 4^25 ]a
   = (4^25 + 1) (i-1)


p/s: 关键在于将  5  化为  (1+4)  在化为 (4^0 + 4^1)
     剩下的步骤就是用一正一负来简化。
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发表于 30-5-2003 12:07 PM | 显示全部楼层
第一道

   4x^2 - y^2 = 59  ---- (1)
(2x + y) (2x - y ) = 59
Since 59 is a prime number and both (2x + y) and (2x - y ) are integers,
So
    (2x + y) (2x - y) = 1 x 59

Consider
    2x + y = 59 ------(2)    and 2x - y = 1 ------(3)
(2) - (3)
   2y = 58
    y = 29

Consider
    2x + y = 1 ------(4)    and 2x - y = 59 ------(5)
(4) - (5)
   2y = -58
    y = -29

Replace y = 29 and y = -29 in (1)
You will get
     4x^2 - 841 = 59
                 x^2 = 225
                   x  = 15 or -15
so x = 15 or -15; y = 29 or -29


For Q2
微中子 what is 因数 (what is the term in Malay or English ?)
Sorry, long time did't study the term in Chinese.

[ Last edited by flash on 30-5-2003 at 12:12 PM ]
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发表于 30-5-2003 12:44 PM | 显示全部楼层
Q2
I assume that 因数 is "faktor".
So the answer will be
For 113400
Total faktor = 450120, number of faktor = 120

For 1372140,1215000 and 2619540,
number of faktor sepunya = 30

For 7436,
The product of faktor = 6.951114300793376 x 10^(34)

Just use computer to help me to solve those.
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发表于 30-5-2003 08:21 PM | 显示全部楼层
原来第一题那么易解!
看来当时宝玉是在钻牛角尖了......

谢谢~~ Flash!!!
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楼主
 楼主| 发表于 30-5-2003 11:28 PM | 显示全部楼层
第一道!

呵呵,flash兄答对了!一共有四组答案。

第二道!

基本上对了!我说基本上,是因为7436的那一部分答案并不“准”确,也不是说不正确。答案应该只是近似值而已吧?

不过,这一题的前面几部分不须要用电脑,只用计算机就可以了。
至于7436的那一题,由于答案一共有35位数,计算机不能算吧?可以用别种方式来表达。

所以,还不算完整。请把做法也贴上,谢谢!

第三道!

正确!甄贾宝玉兄答对了!
对于这题,我用与Geometric Siries 相似的方法也可以解出。(其实可以说是GP吧?无论如何,可以证明是对的,至少在这个情况。)(注:与飞鱼兄的方法一样)

[ Last edited by 微中子 on 30-5-2003 at 11:35 PM ]
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发表于 30-5-2003 11:29 PM | 显示全部楼层
甄贾宝玉网友第三题的解法很妙。

我的解法:

geometric progression之和:

S= a(r^n –1)/(r-1)
= (i+1)[ (i+1)^100 –1]/ (i+1 –1)
= (i+1) [(2i)^50 –1]/ i
…..
最后也得到 (2^50 +1)(i-1)

顺便恭喜微中子网友,祝前程似锦。
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发表于 30-5-2003 11:30 PM | 显示全部楼层
因数是factor.

请问flash网友的解法是不是如下?

450120= (2^3)*(3^4)*(5^2)*(7^1)

用类似combination的方法:
number of factor= (3+1)(4+1)(2+1)(1+1)=120
用sum of geometric progression的方法:
sum of factor=
[(2^4-1)/(2-1)][(3^5-1)/(3-1)][(5^3-1)/(5-1)][(7^2-1)/(7-1)]

发现微中子网友的Euclidean algorithm方法能很方便的求出最大公因数。
找到最大公因数后,写成prime factor的算式,用同样的方法找number of faktor sepunya。

Product of factor:
写成prime factor的算式,用同样的方法找number of factor。
product of factor = (7436)^( number of factor/2)
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发表于 31-5-2003 08:41 AM | 显示全部楼层
微中子, I just use computer to calculate the 7436 part only (sorry make you all confuse, I should rephrase my words). Actually the answer for that part is 7436^9. Using the calculator, it gives 6.951114301 x 10^(34). In order to get more significant figure, I use computer to count and that is the answer. In fact the answer that I have given is just an approximate value. Lazy to use pen and paper to count the exact 35 digits.
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发表于 31-5-2003 11:16 AM | 显示全部楼层
flyingfish 于 30-5-2003 23:30 写道 :
因数是factor.

请问flash网友的解法是不是如下?

450120= (2^3)*(3^4)*(5^2)*(7^1)

用类似combination的方法:
number of factor= (3+1)(4+1)(2+1)(1+1)=120
用sum of geometric progression的方法:
...


yap. You are right. In fact Euclidean algorithm is very useful in this question
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楼主
 楼主| 发表于 31-5-2003 11:22 AM | 显示全部楼层

69511143007933768154193543859798016

应该是69511143007933768154193543859798016吧?
不论如何,三道问题都解决了!
希望网友们对微中子准备的大餐感到满意。

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发表于 3-6-2003 01:15 AM | 显示全部楼层
请 问 这 些 题 目 应 该 是 属 于 那 个 程 度 的 数 学 题!
什 么 是Euclidean Algorithm?
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发表于 5-6-2003 05:21 PM | 显示全部楼层
how to count ??
i dono lor~
i just form 3 only
this secondary school standard??
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发表于 5-6-2003 05:49 PM | 显示全部楼层
wah you all math so keng 1
how old you(all) are??
when will i learn this?(now i am form 3(
form 4 form 5 form 6??
these are questions of modern maths of extra maths?
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发表于 5-6-2003 08:23 PM | 显示全部楼层
reply to

i think with form 3 standard, you are still able
to do question 3.
sometimes, solving a question doesn't need a very
complicated theory, but from a very basic but
interesting way.
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发表于 5-6-2003 11:17 PM | 显示全部楼层
小旋风 于 3-6-2003 01:15 写道 :
请 问 这 些 题 目 应 该 是 属 于 那 个 程 度 的 数 学 题!
什 么 是Euclidean Algorithm?


小旋风网友,微中子网友曾在以下这话题提到Euclidean algorithm:
http://chinese.cari.com.my/forum/viewthread.php?tid=20761

我认为这几题用到的概念:
第一题:
faktor
nombor perdana
一些代数的pemfaktoran..
SPM(或更早)该已学了这些概念吧。

第二题:
faktor perdana(PMR)
indeks(PMR)
permutation & combination (STPM – optional)
sum of GP (SPM – optional)
用小一点的数来试试,也许就能看出解题的规律,然后再用在这大数上。

第三题
complex number (STPM)
sum of GP (SPM)

我觉得很难定义数学题的程度。除了第三题外,其他的都能以PMR前学过得数学知识解出,难的地方是如何巧妙的运用已会的知识。。

(刚发现观点与甄贾宝玉网友相似。。)

[ Last edited by flyingfish on 5-6-2003 at 11:19 PM ]
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发表于 6-6-2003 09:57 AM | 显示全部楼层
is ^ mean = power of(kuasa)?
宝玉
from 3 have teach the way you did in Q3?
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发表于 6-6-2003 10:00 AM | 显示全部楼层
if i do the Q3 by basic way.
is it need alot of time right??

[ Last edited by on 6-6-2003 at 10:01 AM ]
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