Problems in Elementary Number Theory

Lov瑜瑜4ever

Find the positive integers p,q and n such that p and q are prime numbers and
(1/p)+(1/q)+(1/pq)=1/n
我找到2set答案：(p,q,n)=(2,3,1) or (3,2,1)
还有其他组的答案吗？
如果没有的话又要怎样prove除了这2组的答案以外就没有其他的答案了呢〉？

puangenlun

(1/p)+(1/q)+(1/pq)=1/n
pq=n(p+q+1)
where p & q are prime numbers

if n=1 then p,q=2,3

if n>1 then n|p or n|q
so (p+q+1)|p or (p+q+1)|q
impossible

so p & q can only be 2 & 3

Lov瑜瑜4ever

(1/p)+(1/q)+(1/pq)=1/n
pq=n(p+q+1)
where p & q are prime numbers

if n=1 then p,q=2,3

if n>1  ...
puangenlun 发表于 3-2-2011 06:25 PM

我明白了。。。
可以问下你现在几岁在读什么吗？

Lov瑜瑜4ever

Let m and n be natural number such that

A=[(m+3)^n +1]/3m

is an integer. Prove that A is ODD.

JamesTea

我的做法：
Given that :
A=[(m+3)^n +1]/3m

=>  3mA = (m+3)^n +1 which is odd              ------ (1)
then 3mA - 1 =  (m+3)^n is even

implies that (m+3) must be even, hence m can only be odd...

from (1):
3mA = (m+3)^n +1
3 is odd and m is odd => 3m is odd

hence,
A=[(m+3)^n +1]/3m = odd/odd => A must be odd.

感觉上我的 prove 不太完整，但是 idea 是有了

Lov瑜瑜4ever

Let m and n be natural number such that
A=[(m+3)^n +1]/3m is an integer.

no matter what the val ...
puangenlun 发表于 4-2-2011 01:01 AM

我看不懂你这个解释：
for even number m, either m=6k+0,6k+2,6k+4
when k=0, only m=2 get integer A
when k>0, A has remainder 1,3,5
为什么m=6k+0,6k+2,6k+4呢？
6k+1,6k+3,6k+5不行？
还有为什么要写成6k+r的形式？
2k+r,4k+r...不行吗？

puangenlun

錯，大錯特錯！這個證明是錯的，而且錯的很離譜！
這個問題我做不來，只得到如下的結果
1. m=2，n=2k+1 是一組解，但A的奇偶性不詳
2. 當m是奇數時，證明是顯然的。因此本題的關鍵是證明m為偶數的情況
3. 當m為偶數時，n必為奇數

Lov瑜瑜4ever

錯，大錯特錯！這個證明是錯的，而且錯的很離譜！
這個問題我做不來，只得到如下的結果
1. m=2，n=2k+1 是 ...
puangenlun 发表于 4-2-2011 12:18 PM

我之前做到的是：
如果m是奇数，A必为奇数
如果m是偶数，A可以是奇数也可以是偶数
如果能证出当m是偶数的时候，A是偶数的时候会导致n不能为整数的时候，那么就等于prove出整个题目了。。。
我就是卡在这边==

puangenlun

延伸這個問題：如果命題是對的，那麼如何求出m&n？

請問你的問題從何而來，或許解題線索就在其中。

Lov瑜瑜4ever

延伸這個問題：如果命題是對的，那麼如何求出m&n？

請問你的問題從何而來，或許解題線索就在其中。
puangenlun 发表于 4-2-2011 12:35 PM

你是说这个问题从哪里看来得？
应该是一个数学比赛的题目吧。。。
我也不太清楚。。。阿哈哈

dunwan2tellu

回复 4# Lov瑜瑜4ever

"Let m and n be natural number such that

A=[(m+3)^n +1]/3m

is an integer. Prove that A is ODD."


如果 m 是偶数的情况：
设 m = 2^s * t , s >= 1 , t = 奇数


(i) s > 1
试证明不可能找得到整数解 A
提示: 用反证。考 [(m+3)^n+1] = 0 (mod 3) 和  [(m+3)^n+1] = 0 (mod 2^s) 来得到 contradiction


(ii) s = 1
试证明如果 A 有解，则 A 是奇数
提示：试证明 [(m+3)^n+1] = 2 (mod 4)

Lov瑜瑜4ever

回复  Lov瑜瑜4ever

"Let m and n be natural number such that

A=[(m+3)^n +1]/3m

is an intege ...
dunwan2tellu 发表于 5-2-2011 11:54 PM

那个mod的我还没学。。。你可以大概说下是什么来的吗？

whyyie

回复 4# Lov瑜瑜4ever

Ivanlsy

回复 13# whyyie


一个偶数除以另一个偶数一定会是奇数吗?

whyyie

回复 14# Ivanlsy

对hor...我好像做错了..

Ivanlsy

回复  Ivanlsy

偶数除偶数是even number或fraction
奇数除奇数是odd number 或fraction

因为题目说A是整数, 所以偶数除偶数一定是偶数.

even x even = even
odd x odd = odd
even x odd = even
whyyie 发表于 15-2-2011 04:00 PM

既然偶数乘以奇数也是偶数, 那为什么偶数除以偶数一定要是偶数呢?

Ivanlsy

回复 15# whyyie


不是错, 是证明得不够严谨.
你也没有证明奇数除以奇数和偶数除以偶数会是一个整数.

puangenlun

回复  Lov瑜瑜4ever

"Let m and n be natural number such that

A=[(m+3)^n +1]/3m

is an intege ...
dunwan2tellu 发表于 5-2-2011 11:54 PM

   根據提示，證明如下

1.When m=2*(2p+1)
((m+3)^+1)/3m
=((4p+5)^n+1)/(6(2p+1))
=((4(p+1)+1)^n+1)/(6(2p+1))
=(4(p+1)k+1+1)/(6(2p+1))          using binomial theorem
=(2(p+1)+1)/(3(2p+1))
= odd number

2.When m=(2^p)q, where p is integer greater than 1 and q is odd number
不會