数学训练（十二月份）

22/12/2004 星期三
初中(A54)
已知 (y+z)/(b-c) = (x+z)/(c-a) = (x+y)/(a-b) > 0
a,b,c 互不相等，且都不等于零。
求证，以上各分式都等于
√{[x^2+y^2+z^2]/[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]}

設(y+z)/(b-c) = (x+z)/(c-a) = (x+y)/(a-b) ＝1/k，（k＞0）
則b-c＝(y+z)k
  c-a＝(x+z)k
  a-b＝(x+y)k
三式相加，得0＝2(x＋y＋z)k
∵k＞0，∴x＋y＋z＝0
即b-c＝－xk，c-a＝－yk，a-b＝－zk
則√{[x^2+y^2+z^2]/[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]}
＝√{[x^2+y^2+z^2]/[(－xk)^2+(－yk)^2+(－zk)^2]}
＝√{[x^2+y^2+z^2]/[k^2(x^2+y^2+z^2)]
＝√(1/k^2)
＝1/k，（∵k＞0）
故本題得證

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
24/12/2004 星期五
高中(B53)
证明，一个有 n 个元素的集合有 2^n 个子集。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

設集合A有n個元素,則
子集為空集有C(n,0)個
子集有1個元素有C(n,1)個
子集有2個元素有C(n,2)個
...
子集有n個元素有C(n,n)個

子集數=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n

多普勒效应

灰羊 于 26-12-2004 04:57 PM  说 :

設集合A有n個元素,則
子集為空集有C(n,0)個
子集有1個元素有C(n,1)個
子集有2個元素有C(n,2)個
...
子集有n個元素有C(n,n)個

子集數=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n

证明 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n

多普勒效应 于 26-12-2004 18:09  说 :


证明 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n

每個元素可取、可不取，有2種方法；
此集合有n個元素，依乘法原理可得有 n 個元素的集合有 2^n 個子集。

灰羊

多普勒效应 于 26-12-2004 18:09  说 :
证明 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n

(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+....C(n,n)x^n
令x=1即得證

灰羊

多普勒效应 于 26-12-2004 12:18  说 :
23/12/2004 星期四
高中(B52)
化简
3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)

化成這樣ok了嗎?不然說一說要求

n!+(n+1)!+(n+2)!
=n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]
=n!(n+2)^2

(n+2)/n!(n+2)^2
=1/n!(n+2)
=(n+1)/(n+2)!

∴3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)
=2/3! + 3/5! + ... + 2000/2001!

[ Last edited by 灰羊 on 27-12-2004 at 02:04 AM ]

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
18/12/2004 星期六
高中(B51)
三角形 ABC 中，AB = AC，角 BAC=20度
D,E 分别是AB,BC上一点 ，使角DCB = 50度，角EBC=60都

E在BC上,怎麼會出現角EBC=60?

多普勒效应

灰羊 于 27-12-2004 02:02 AM  说 :


化成這樣ok了嗎?不然說一說要求

n!+(n+1)!+(n+2)!
=n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]
=n!(n+2)^2

(n+2)/n!(n+2)^2
=1/n!(n+2)
=(n+1)/(n+2)!

∴3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2 ...

答案是 1/2 - 1/2001!
很简的答案吧
看到答案，应该联想到解法了吧

3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)
=2/3! + 3/4! + ... + 2000/2001!
＝（1/2！－1/3！）＋（1/3！－1/4！）＋…＋（（1/2000！－1/20001！））
＝1/2 - 1/2001!

初中(A51)
A     B    C     D     E
         2     5     8     
23    20    17   14    11
        26    29   32
47    44    41   38    35
               ......
数字 2000会出现在那一列？

請問 2     5     8、 26    29   32是對B    C     D或C     D     E？

多普勒效应

430201 于 27-12-2004 08:35 PM  说 :
初中(A51)
A     B    C     D     E
         2     5     8     
23    20    17   14    11
        26    29   32
47    44    41   38    35
               ......
数字 2000会出现在那一列？

請 ...

B,C,D

初中(A51)
A     B    C     D     E
         2     5     8     
23    20    17   14    11
        26    29   32
47    44    41   38    35
               ......
数字 2000会出现在那一列？

2、5、8、…
設2000為第n項
2＋(n－1)×3＝2000
得n＝667
排列的規則：(BCDEDCBA) (BCDEDCBA)…
667÷8＝83…餘3
故2000會出現在D列

□        題目顯然有誤，建議更正為：
18/12/2004 星期六
高中(B51)
三角形 ABC 中，AB = AC，角 BAC=20度
D,E 分别是AB,AC上一点 ，使角DCB = 50度，角EBC=60都
求角BED之值。

1、作EF平行BC交AB於F，連CF交BE於O，再連DO。
2、顯然ΔOEF為正三角形，∴OE＝EF
3、∵ΔOBC為正三角形，∴BC＝BO；
   ∵∠ABC＝80度，∠BCD＝50度，∠BDC＝50度，∴BC＝BD；
   則BD＝BO→∠BOD＝80度→∠FOD＝40度
4、∵∠DFO＝40度＝∠FOD，∴DF＝DO；
5、∵OE＝EF，DF＝DO，DE＝DE，
∴ΔEFD與ΔEOD全等，則∠FED＝∠DEO，
故∠DEB＝1/2∠FEB＝30度

考虑 1^1, 2^2, 3^3, 4^4, ...这个数列.
1^1 = 1, 2^2 = 4, 3^3 = 27, 4^4 = 256,
如果我们拿最后一个数字来组成新的数列1,4,7,6,...

如果无限的做下去,有什么pattern?

1、4、7、6、5、6、3、6、9、0、1、6、3、6、5、6、7、4、9、0、
1、4、7、6、5、6、3、6、9、0、1、6、3、6、5、6、7、4、9、0、
1、4、7、6、…

多普勒效应

由于开学了，小弟不能每天上网贴题。
小弟希望有人可以主持“数学训练”。

如果没有人主持，
数学训练就只好暂停了 :-(

灰羊

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