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楼主: 微中子

数学训练(十二月份)

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发表于 16-12-2004 11:17 AM | 显示全部楼层
yellowrain 于 16-12-2004 02:01  说 :
你們這些樹學都是華文的.......
我們這些國中生怎麼解啊!!!!!!

中文更容易理解題目吧?
雨,名詞不會可以問我^^
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发表于 16-12-2004 03:24 PM | 显示全部楼层
多普勒效应 于 12-12-2004 00:35  说 :
26/11/2004,星期五
高中 (B44)
a_i 是正整数   i=1,2,3,...,n
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。
(待解)
(答案:)
(解对者:)

多,這樣行嗎?

2002分成a_1到a_n共n個數,且a_i為正整數(i=1,2,..,n)
由算幾不等式得
僅當a_1=a_2=...=a_n時,(a_1)(a_2)...(a_n)有最大值
但a_1=a_2=...=a_n≠1
=> a_1=a_2=...=a_n=2(下一個自然數)
∴ (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值=2^1001
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 楼主| 发表于 16-12-2004 04:01 PM | 显示全部楼层
多普勒效应 于 12-12-2004 12:35 AM  说 :
初中(A46)

20 个重复一次


怎么算?
那20又是怎样的?
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430201 该用户已被删除
发表于 16-12-2004 08:29 PM | 显示全部楼层
灰羊 于 16-12-2004 01:15  说 :

xyz=5(x+y+z),且x,y,z為質數
∴x,y,z必有一個是5
不失一般性,令x=5,則
yz=5+y+z
yz-y-z=5
y(z-1)-z=5
y(z-1)-z+1=6
(y-1)(z-1)=6
(y-1)(z-1)=1*6   or (y-1)(z-1)=2*3
解得y=2,z=7           無質數解 ...


除了(x,y,z)=(5,2,7)外,
應該還有5組
∴(x,y,z)=(5,7,2)、(2,5,7)、(2,7,5)、(7,2,5)、(7,2,5)
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430201 该用户已被删除
发表于 16-12-2004 08:30 PM | 显示全部楼层
灰羊 于 16-12-2004 01:15  说 :

xyz=5(x+y+z),且x,y,z為質數
∴x,y,z必有一個是5
不失一般性,令x=5,則
yz=5+y+z
yz-y-z=5
y(z-1)-z=5
y(z-1)-z+1=6
(y-1)(z-1)=6
(y-1)(z-1)=1*6   or (y-1)(z-1)=2*3
解得y=2,z=7           無質數解 ...


【更正】
除了(x,y,z)=(5,2,7)外,
應該還有5組
∴(x,y,z)=(5,7,2)、(2,5,7)、(2,7,5)、(7,2,5)、(7,5,2)
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430201 该用户已被删除
发表于 16-12-2004 08:38 PM | 显示全部楼层
從 1 開始的若干個連續自然數的和等於一個各位數位相同的三位元數(每個數位都一樣)。問,應取幾個連續自然數?

設從1到n連續自然數的和為aaa(其中a為一位正整數)
1/2×n(n+1)=111×a
n(n+1)=2×3×37×a
顯然a=6
則n=36
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发表于 17-12-2004 05:01 PM | 显示全部楼层
430201 于 16-12-2004 20:30  说 :
【更正】
除了(x,y,z)=(5,2,7)外,
應該還有5組
∴(x,y,z)=(5,7,2)、(2,5,7)、(2,7,5)、(7,2,5)、(7,5,2)

x,y,z有輪換性,只須找到一組
再任意互換即可
三個中排列三個,共有3!=6種排法

[ Last edited by 灰羊 on 17-12-2004 at 05:03 PM ]
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430201 该用户已被删除
发表于 17-12-2004 05:43 PM | 显示全部楼层
灰羊 于 17-12-2004 17:01  说 :

x,y,z有輪換性,只須找到一組
再任意互換即可
三個中排列三個,共有3!=6種排法

[ Last edited by 灰羊 on 17-12-2004 at 05:03 PM ]

觀念完全正確
但沒寫出來就是瑕疵
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发表于 17-12-2004 08:09 PM | 显示全部楼层
話說回來怎麼題目都沒更新呢???
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发表于 18-12-2004 01:10 AM | 显示全部楼层
微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
16/12/2004 星期四
高中(B49)
解方程
3^(2x) - 34[15^(x-1)] + 5^(2x) = 0
(待解)
(答案:)
(解对者:)


設x-1=k,則x=k+1
則原式化為
3^(2k+2) - 35*15^k + 5^(2k+2)=0
9*3^(2k) - 35*15^k + 25*5^(2k)=0
(3^k-5^k)(9*3^k-25*5^k)=0
3^k=5^k     3^(k+2)=5^(k+2)
解得k=0     解得k=-2
=> k=0或k=-2
=> x=1或x=-1
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发表于 18-12-2004 01:19 AM | 显示全部楼层
微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
17/12/2004 星期五
高中(B50)
a,b 是正整数,
若 a+b = 30030
证明 ab 不可以被 30030 整除。
(待解)
(答案:)
(解对者:)

設ab=30030k,則
k(a+b)=ab
a(k-1)+b(k-1)=0
∵a,b為正整數
=> k=1
∴ab=30030

∵a+b=ab只有唯一正整數解(2,2)
顯然a≠b≠2,矛盾

∴ab不是30030的倍數
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发表于 20-12-2004 02:45 PM | 显示全部楼层
寂寞的假期。。。来,试试!

1x1! + 2x2! + 3x3! + ... + nxn! = ?

有几个方法,看看大家的回复
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发表于 20-12-2004 06:35 PM | 显示全部楼层
铁蛋 于 20-12-2004 02:45 PM  说 :
寂寞的假期。。。来,试试!

1x1! + 2x2! + 3x3! + ... + nxn! = ?

有几个方法,看看大家的回复


(一)
i x i! = i! ( i+1-1)=(i+1)! - i!
所以
1 x 1! + 2x2! + ...  + n x n!
= 2!-1! + 3!-2! + ... + (n+1)!-n!
= (n+1)!-1

(二)
直接用归纳法
当 n=1左式等于右式 = 1
设 n = k 时等式成立
1 x 1! + 2x2! + ...  + k x k! + (k+1) x (k+1)! = (k+1)!-1 + (k+1) x (k+1)!
                                                               = (k+2)!-1
所以等式成立当 n 是正整数。
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发表于 21-12-2004 12:12 AM | 显示全部楼层
多普勒效应 于 20-12-2004 18:35  说 :
(一)
i x i! = i! ( i+1-1)=(i+1)! - i!
所以
1 x 1! + 2x2! + ...  + n x n!
= 2!-1! + 3!-2! + ... + (n+1)!-n!
= (n+1)!-1

(二)
直接用归纳法
当 n=1左式等于右式 = 1
设 n = k 时等式成 ...


利害!
多出一點題目啦
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发表于 21-12-2004 12:35 PM | 显示全部楼层
哈哈,不愧是坛主,两招就解决了!

这个问题采自"Counting",新大教授 Koh Khee Meng 著。书里讲解一些关于"Combinatorial thinking"的概念。

原本小弟也只是纯粹从代数和归纳法的角度来看这个问题,可是这就没有发挥到"Combinatorial thinking"。后来想想,觉得以下的做法有采用到这个概念。

考虑 (n+1) 个整数 (1,2,...,n+1). 总 共有(n+1)! 个方法来排 . 考虑开头是(2,3,...,n+1)digit的排法,共有 n x n! 个. 那么就只剩下开始是 1 的排法了. 这个子集的第二个 digit 共有 n 种 (2,3,...,(n+1) ), 所以第三个digit 到 (n+1) digit 共有 (n-1)! 排法. 开头是 1 的排法总共有 n x (n-1)! . 所以:

(n+1)! = n x n! + n x (n-1)! = n x n! + (n-1) x (n-1)! x (n-1)!

对 (n-1)! 以下重复以上的做法就得解.这是小弟的一个尝试。。。希望还不是太难明白,如果有更清晰的说法,欢迎讨论指教!

[ Last edited by 铁蛋 on 21-12-2004 at 12:37 PM ]
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发表于 24-12-2004 11:18 PM | 显示全部楼层
好無聊阿~~~
沒新題目...微中子你去了哪~~~~ T_T
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430201 该用户已被删除
发表于 25-12-2004 10:22 PM | 显示全部楼层
20/12/2004 星期一
初中(A52)
x 为何值时, f(x)=(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x-a_n)^2
取最小值?

f(x)=nx^2-2(a_1+a_2+…+a_n)+﹝(a_1)^2+(a_2)^2+…+(a_n)^2﹞
配方,可得
當x=(a_1+a_2+…+a_n)/n時,f(x)有最小值。
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430201 该用户已被删除
发表于 25-12-2004 10:37 PM | 显示全部楼层
21/12/2004 星期二
初中(A53)
化简
√[x + 4√(x+1) +5] + √[x + 6√(x+1) + 10]

∵x + 4√(x+1) +5
=(x+1)+ 4√(x+1) +4
=[√(x+1)]^2+2*√(x+1)*2+2^2
=[√(x+1)+2]^2

又x + 6√(x+1) +10
=(x+1)+ 6√(x+1) +9
=[√(x+1)]^2+2*√(x+1)*3+3^2
=[√(x+1)+3]^2

∴√[x + 4√(x+1) +5] + √[x + 6√(x+1) + 10]
=[√(x+1)+2]+[√(x+1)+3]
=2√(x+1)+5
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430201 该用户已被删除
发表于 26-12-2004 10:08 AM | 显示全部楼层
23/12/2004 星期四
高中(B52)
化简
3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)

1999!+2000!+2001!
=1999!+2000×1999!+2001×2000×1999!
=(1+2000+2001×2000)×1999!
=(2001+2001×2000)×1999!
=2001×(1+2000)×1999!

∵n!+(n+1)!+(n+2)!
=n!+(n+1)×n!+(n+2)×(n+1)×n!
=﹝1+(n+1)+(n+2)×(n+1)﹞×n!
=﹝(n+2)+(n+2)×(n+1)﹞×n!
=(n+2)×﹝(1+(n+1))×n!
=(n+2)×﹝n!+(n+1)!﹞
∴(n+2)/ ﹝n!+(n+1)!+(n+2)!﹞
=1/﹝n!+(n+1)!﹞
故3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)
=1/(1!+2!)+1/(2!+3!)+…+1/(1999!+2000!)
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发表于 26-12-2004 12:18 PM | 显示全部楼层
430201 于 26-12-2004 10:08 AM  说 :
23/12/2004 星期四
高中(B52)
化简
3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)

1999!+2000!+2001!
=1999!+2000×1999!+2001×2000×1999!
=(1+2000+2001×2000)×1999!
=(20 ...


这不算化得很简吧...
答案可以更简单的......
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