数学训练（十一月份）

灰羊

14/11/2004，星期日
大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。
（待解）
（答案：）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）
=====================================
可是n=1時原式=2......

可以這樣證嗎?
n是自然數
所以n=1時(1 + 1/n)^n有最小值2
n=無限時(1 + 1/n)^n有最大值e=2.718281828 < 3(用極限)
這樣行嗎?

灰羊

多普勒效应 于 4-11-2004 04:07 PM  说 :


可以可以，answer=1.791284544,-1.561548897 是对的。
不过，这题有一个很美一下的解法。
解出的是有根号的。

既然是已解題目
多不訪貼出來吧

灰羊

06/11/2004，星期六
高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
求 x,y,z 之值。
=================================
請問[]和{}各代表甚麼?

多普勒效应

灰羊 于 5-11-2004 11:00 PM  说 :
06/11/2004，星期六
高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
求 x,y,z 之值。
=================================
請問[] ...

谢谢提醒，
已经编辑了 ^^

高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
[a] 表示不超过 a 的最大整数，{a}表示小数部分
例如：[5.4]=5 , {4.3}=0.3
求 x,y,z 之值。


答案是不是
x=6
y=7.1
z=8.2
?

只有一个解而已

多普勒效应

历害！！
看来题目要找更难的才能符合大众口味 :-P

高中生的题目不是很难（适合我做）
大专的就。。有点难了。。难得才会一两题。。

多一些几率数学，统计学吧，
我顺便可以加强自己的能力。。。:-p

灰羊

萧晨 于 5-11-2004 11:36 PM  说 :
高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
[a] 表示不超过 a 的最大整数，{a}表示小数部分
例如：[5.4]=5 , {4.3}=0.3
求 x ...

x,y,z 都是正整数....
而且你是怎麼算出來的?

『x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
[a] 表示不超过 a 的最大整数，{a}表示小数部分
例如：[5.4]=5 , {4.3}=0.3
求 x,y,z 之值。』

既然x,y,z 都是正整数，則｛x｝＝｛y｝＝｛z｝＝0
顯然題目有誤

灰羊

灰羊于 5-11-2004 11:00 PM  说 :
06/11/2004，星期六
高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
求 x,y,z 之值。
=================================
14/11/2004，星期日
大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。
（待解）
（答案：）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）
=================================
第一題應改成
x,y,z 都是正数
第二題鷹改成
２≤(1 + 1/n)^n ＜３
另外..我第二題的證法可行嗎

□題目改為：x、y、z為正實數

∵x + [y] + {z} = 13.2
  [x]+{y}+  z  = 14.3
  {x}+y+[z] = 15.1
∴（一）[x]＋{x}＋[y]＋{z}＝13.2
       則[x]＋[y]＝13，{x}＋{z}＝0.2
       或[x]＋[y]＝12，{x}＋{z}＝1.2
  （二）[x]＋{y}＋[z]＋{z}＝14.3
       則[x]＋[z]＝14，{y}＋{z}＝0.3
       或[x]＋[z]＝13，{y}＋{z}＝1.3
   （三）{x}＋[y]＋{y}＋[z]＝15.1
       則[y]＋[z]＝15，{x}＋{y}＝0.1
       或[y]＋[z]＝14，{x}＋{y}＝1.1
可能有8組解
（1）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝0.1
     解之得，x＝6、y＝7.1、z＝8.2
（2）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝1.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（3）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝0.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（4）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝1.1
     解之得，{y}＝1.1（不合）
（5）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝0.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（6）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝1.1
     解之得，{x}＝1（不合）
（7）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝0.1
     解之得，{z}＝1.2（不合）
（8）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝1.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝19.5（不合）

430201 于 6-11-2004 09:20 AM  说 :
既然x,y,z 都是正整数，則｛x｝＝｛y｝＝｛z｝＝0
顯然題目有誤

赞同！！！！

而且，

14/11/2004，星期日
大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。

如果 n 是自然数，
那当然包括 １，
但是，当 n ＝１时，
(1 + 1/n)^n = 2，并不 ＞２。

灰羊 于 6-11-2004 10:09 AM  说 :
高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
求 x,y,z 之值。
=================================
14/11/2004，星期日
大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。
（待解）
（答案：）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）
=================================
第一題應改成
x,y,z 都是正数
第二題鷹改成
２≤(1 + 1/n)^n ＜３

哈哈，我没有注意到正整数这个字
的确应该换成正数

然后那个大于等于
我有注意到（我的解法里面有提到）
不过我觉得那个也是typo error而已
多普勒兄请编辑一下吧


我的解法是对是错？
（那题糖果题目，还有这两题B36,C13）

430201 于 6-11-2004 10:10 AM  说 :
題目改為：x、y、z為正實數

∵x + [y] + {z} = 13.2
  [x]+{y}+  z  = 14.3
  {x}+y+[z] = 15.1
∴（一）[x]＋{x}＋[y]＋{z}＝13.2
       則[x]＋[y]＝13，{x}＋{z}＝0.2
       或[x]＋[y]＝12，{x}＋{z}＝1.2
  （二）[x]＋{y}＋[z]＋{z}＝14.3
       則[x]＋[z]＝14，{y}＋{z}＝0.3
       或[x]＋[z]＝13，{y}＋{z}＝1.3
   （三）{x}＋[y]＋{y}＋[z]＝15.1
       則[y]＋[z]＝15，{x}＋{y}＝0.1
       或[y]＋[z]＝14，{x}＋{y}＝1.1
可能有8組解
（1）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝0.1
     解之得，x＝6、y＝7.1、z＝8.2
（2）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝1.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（3）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝0.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（4）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝1.1
     解之得，{y}＝1.1（不合）
（5）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝0.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（6）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝1.1
     解之得，{x}＝1（不合）
（7）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝0.1
     解之得，{z}＝1.2（不合）
（8）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝1.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝19.5（不合）

哇，虽然是很正确，不过也太长了吧
我是一开始就先证明x,y,z有两位小数是不可能
(利用x=a+*b+**5
y=c+*d+**5
z=e+*f+**5)

然后再用类似的方法找到两组x,y,z的小数值(只有一位小数)
(利用x=a+*b
y=c+*d
z=e+*f)

然后再代入，就比较快了
（b,d,f为1,2,3有解,b,d,f为5,6,7无解）


这样会比较快吧

多普勒效应

这个会不会快一点：

把三个等式相加 ：
2(x+y+z)=42.6   => x+y+z = 21.3 ----(4)
(4) - (1) =>  y-[y]+z-{z}= [z] + {y} = 8.1        => [z]=8 , {y}=0.1
同理 ，(4) - (2) =>   [y]+{x} = 7    => [y]=7 ,{x}=0
             (4) - (3) =>   [x] + {z} =6.2  => [x]=6 . {z}=0.2

[ Last edited by 多普勒效应 on 6-11-2004 at 09:17 PM ]

哈哈
還是壇主英明

灰羊

多普勒效应 于 6-11-2004 01:46 PM  说 :
这个会不会快一点：

把三个等式相加 ：
2(x+y+z)=42.6   => x+y+z = 21.6 ----(4)
(4) - (1) =>  y-[y]+z-{z}= [z] + {y} = 8.1        => [z]=8 , {y}=0.1
同理 ，(4) - (2) =>   [y]+{x} = 7 ...

小錯誤
2(x+y+z)=42.6   => x+y+z = 21.6 ----(4)

灰羊

多普勒效应 于 4-11-2004 04:07 PM  说 :


可以可以，answer=1.791284544,-1.561548897 是对的。
不过，这题有一个很美一下的解法。
解出的是有根号的。

多兄可以把這解法貼出來嗎?

多普勒效应

贴在“高中数学训练”那边了。 ^^

萧晨 于 5-11-2004 04:28 PM  说 :
大专 （C12）


因为每种组合的几率一样
所以每个组合的probabiity是    1/(n+1)
由于第一粒是要草莓  -->prob=1/2
如果组合里面有2粒 几率就是2/n
3粒就是3/n
依此类推

然后second是要草莓
所以就是里面有2粒，吃了一粒 几率就是1/(n-1)
3粒就是2/(n-1)

所以综合起来
====>  [1/(1+n)]*[(2/n)(1/(n-1)) +(3/n)(2/(n-1))+....+(n/n)((n-1)/(n-1))]
====> =[1/n(n+1)(n-1)]*[2*1+3*2+4*3+.....+n(n-1)]
使用summation===> = =[1/n(n+1)(n-1)]*[n(n+1)(n-1)/3]
约分=====> = 1/3



P(第二粒是草莓|第一粒是草莓)
=P(第二粒是草莓and第一粒是草莓)/P(第一粒是草莓)
=(1/3)/(1/2)
=2/3

sinchee只是给了答案
我的解法对不对呀？