数学训练（十一月份）

多普勒效应

萧晨 于 4-11-2004 05:13 PM  说 :

哇。。
好想知道解法哟
不过既然有另外一个很美的解法
那么我的linear interpolation也就不用写出来了是吗？

haha,
很美一下罢 liao
可能对高手来说只不过是小儿科....

解答者也算萧兄在内 :-P

两边平方，得：
x^4 – 10x^2 + x + 20 = 0
(x^2 + x – 5)(x^2 – x – 4) = 0
x = 1/2 (– 1 ± √21) or 1/2 (1 ± √17)
经检验，
x = 1/2 (– 1 + √21) or 1/2 (1 - √17)
    

多普勒效应

sinchee 于 4-11-2004 10:28 PM  说 :
两边平方，得：
x^4 – 10x^2 + x + 20 = 0
(x^2 + x – 5)(x^2 – x – 4) = 0
x = 1/2 (– 1 ± √21) or 1/2 (1 ± √17)
经检验，
x = 1/2 (– 1 + √21) or 1/2 (1 - √17)
    

对对！
不过，这个因式分解较难，
还有另一个方法！
希望有人贴上来 ^^

flash

今天是暂时接过 pipi 网友的棒子贴上大专的数学题目，在此谢谢多坛主的信任，希望各位网友多多的捧场。第一题就试试这个无数题吧 （没有数字资料的题目）：

大专 （C12）
一间工厂生产两种口味的糖果：草莓和香草。我们无法从糖果的表面判断糖果的口味。有关的糖果将会包装成包裹。每种包裹里的组合都可能不一样（可能整包都是草莓口味的糖果或是整包都是香草口味的糖果，或是一颗草莓其余香草等等）。假设每包糖果的数量都一样以及每种组合的机率都一样。

小明买了一包有关的糖果，尝了一颗发觉是草莓口味。如果现在小明取第二颗糖果（第一颗没放回去），请问第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？

（答案：2/3)
（解对者：sinchee, 萧晨）



大专 （C13）

证明 　２≤(1 + 1/n)^n ＜３

如果 n 是任何 natural numbers.
（不懂有人贴过这问题没有，如有麻烦告诉我, 谢谢）


（解对者：灰羊, 萧晨）


由于长假的关系，所以原本应该周末才贴的题名今天就贴了上来。

大专 （C14）
这题须要有一些赌博的知识，希望不会教坏小孩。
五个赌徒分别坐在五个赌桌玩 poker （也叫 ＂派＂（pair））。如果五个人手上的牌分别是：

（A） A（黑桃）A（红心）A（方块）K（黑桃）K（红心）
（B） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（梅花）
（C） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（红心）
（D） A（黑桃）A（红心）A（方块）6（黑桃）６（梅花）
（E）A（黑桃）A（红心）A（方块）3（黑桃）3（梅花）

那谁赢的机会最大？（假设是用 52 张牌，没有 joker）

大专 （C15）

请算出
(cos x)^2 + (cos 2x)^2 + ... (cos nx)^2

是多少？

（解对者：灰羊)

顺祝大家假期快乐。

[ Last edited by flash on 17-11-2004 at 08:49 AM ]

史奴比{^_^}

咦！！ 怎么不是多普勒出题吗？？
题目不是应该贴在第一贴吗？

一间工厂生产两种口味的糖果：草莓和香草。我们无法从糖果的表面判断糖果的口味。有关的糖果将会包装成包裹。每种包裹里的组合都可能不一样（可能整包都是草莓口味的糖果或是整包都是香草口味的糖果，或是一颗草莓其余香草等等）。假设每包糖果的数量都一样以及每种组合的机率都一样。

小明买了一包有关的糖果，尝了一颗发觉是草莓口味。如果现在小明取第二颗糖果（第一颗没放回去），请问第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？

答案应该是1/2 吧！！！
    

flash

史奴比{^_^} 于 5-11-2004 15:09  说 :
咦！！ 怎么不是多普勒出题吗？？
题目不是应该贴在第一贴吗？

由于我不能编辑多普勒效应的帖子，所以只好放在这个贴。

sinchee 于 5-11-2004 15:25  说 :


答案应该是1/2 吧！！！
    

sinchee 网友， 不是 1/2。再想想吧。

大专 （C12）
一间工厂生产两种口味的糖果：草莓和香草。我们无法从糖果的表面判断糖果的口味。有关的糖果将会包装成包裹。每种包裹里的组合都可能不一样（可能整包都是草莓口味的糖果或是整包都是香草口味的糖果，或是一颗草莓其余香草等等）。假设每包糖果的数量都一样以及每种组合的机率都一样。

小明买了一包有关的糖果，尝了一颗发觉是草莓口味。如果现在小明取第二颗糖果（第一颗没放回去），请问第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？

答案是
1/3
对吗？

[ Last edited by 萧晨 on 5-11-2004 at 04:29 PM ]

31/10/2004，星期日
大专(C11)
（待解）

                                  

[ Last edited by sinchee on 5-11-2004 at 06:19 PM ]

大专 （C12）


因为每种组合的几率一样
所以每个组合的probabiity是    1/(n+1)
由于第一粒是要草莓  如果组合里面有2粒 几率就是2/n
3粒就是3/n
依此类推

然后second是要草莓
所以就是里面有2粒，吃了一粒 几率就是1/(n-1)
3粒就是2/(n-1)

所以综合起来
====>  [1/(1+n)]*[(2/n)(1/(n-1)) +(3/n)(2/(n-1))+....+(n/n)((n-1)/(n-1))]
====> =[1/n(n+1)(n-1)]*[2*1+3*2+4*3+.....+n(n-1)]
使用summation===> = =[1/n(n+1)(n-1)]*[n(n+1)(n-1)/3]
约分=====> = 1/3

不知道对不对。。。。
多多指教

[ Last edited by 萧晨 on 5-11-2004 at 04:58 PM ]

flash

萧晨 于 5-11-2004 16:28  说 :
大专 （C12）


因为每种组合的几率一样
所以每个组合的probabiity是    1/(n+1)
由于第一粒是要草莓
如果组合里面有2粒 几率就是2/n
3粒就是3/n
依此类推

然后second是要草莓
所以就是里面有2粒，吃 ...

萧晨网友，不是 1/3， 第一颗糖果口味的机率会影响这个机率。

需要考虑第一粒的几率吧？
那么我应该在"由于第一粒是要草莓 "这里加入几率为1/2

最后的答案是1/6?

但是小妹觉得这个是conditional probabilities所以不需要考虑第一粒的几率
P(第二粒是草莓|第一粒是草莓)

不是吗？

flash

萧晨 于 5-11-2004 17:01  说 :
需要考虑第一粒的几率吧？
那么我应该在"由于第一粒是要草莓 "这里加入几率为1/2

最后的答案是1/6?

不是 。更正确的说法应该是＂如果知道第一颗糖果是草莓口味，那第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？＂

没错，是conditional probabilities，所以才要考虑第一粒的机率。

[ Last edited by flash on 5-11-2004 at 05:15 PM ]

那么，答案应该是２／３吧！！！
    

flash

sinchee 于 5-11-2004 18:49  说 :
那么，答案应该是２／３吧！！！
    

sinchee 网友答对啦！不妨把做法列出，让大家看看吧。

好了，吃完了糖果，就试试 C13 的题目吧！ （在第一页）

sinchee 于 5-11-2004 06:49 PM  说 :
那么，答案应该是２／３吧！！！
    

wahahahah
我居然摆了乌龙。。。
P(第二粒是草莓|第一粒是草莓)
=P(第二粒是草莓and第一粒是草莓)/P(第一粒是草莓)
=(1/3)/(1/2)
=2/3


wahahaha
居然搞错了。。
真是不好意思。。。
（这样不算大错误吧？）

[ Last edited by 萧晨 on 5-11-2004 at 10:42 PM ]

高中(B36)
[]是梯级整数
{}是什么？

大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。


说真的，如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and  0<k<1
then draw 3 lines--->y=1+k
y=2^k
y=3^k
可以发现在0<k<1里面
y=2^k一直都在y=1+k之下---->很简单，不用画图出来也知道啦。。。(因为只有在k=0,k=1相交)
y=3^k一直都在y=1+k之上  （因为两个交点，一个是k=0,一个是k<0）
2^k<1+k<3^k
===>2<(1+k)^(1/k)<3   当0<k<1
===>2<(1 + 1/n)^n<3   当n is natural number

(可以这样变换因为n is natural number 的range在0<k<1的domain里面)

当然，还是有其他的解法
证明(1+1/n)^n-2>0,(1+1/n)^n-3<0


(1+1/n)^n-2
=[(1+n)/n]^n-2
=[(1+n)^n-2n^n]/(n^n)--------->分母先搁着一边，打字太麻烦了
=(1+n)^n-2n^n--->展开
=1+(nC1)(n)+(nC2)(n^2)+...+(nC(n-2))(n^(n-2))+(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n
由于最后三项相加就是0-->(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n=0
剩下的全部是正数
所以，(1+1/n)^n-2>0
(1+1/n)^n>2

然后就是证明(1+1/n)^n-3<0--->maximum=e<3
所以就解到了

另外一个解法y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limitn-->无限,y=e
所以就解到了

总共有三个方法吧
可能会有更多


好累。。。。
请问有哪一位高手可以指点一下
可以不用一直type到这样累？

sinchee,你做大专(c11)的时候是怎样做在file上面那么整齐的？
可以教导一下吗？

[ Last edited by 萧晨 on 5-11-2004 at 11:24 PM ]