初中数学训练题库

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28/09/2004，星期二
初中(A20) 如图，角 ABC 及 角 BDA 皆是直角。
          若 v + w = 35，x + y = 37，
          求 y 之值。
          （已解）
          （答案：12）
          （解对者：eeCyang）

已知,v + w = 35，x + y = 37
角 ABC ,x^2=w^2+v^2
角 ABC 及 角 BDA 的面积相同,xy/2=wv/2

x^2=w^2+v^2

x^2=(w+v)^2-2wv

x^2+2wv=35^2

x^2+2xy=35^2(xy=wv)

(x+y)^2-y^2=35^2

所以,y^2=37^2-35^2
   y^2=144
   y=12(-ve value 不合题意)

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29/09/2004，星期三
初中(A21) 若 x < -2，试简化 |1-|1+x||。 （已解）

          （答案：-2-x）
          （解对者：eeCyang）

x < -2
1+x<-1
|1+x|=-(1+x),1+x<-1

1-[-(1+x)]=1+(1+x)
1+(1+x)<0 ,  (1+x<-1)

|1-|1+x||=-(1+1+x)=-2-x

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04/10/2004，星期一
初中(A22) 当 1956, 1980 及 2004 除一正整数 a ，其余数均为 b 。
          求 a + b 的最大值。 （已解）
          （答案：36）
          （解对者：38女）

1980 － 1956 ＝ 24
2004 － 1956 ＝ 48

gcd(24，48) ＝ 24

因此，12 ≡ 1956 (mod 24)
         ≡ 1980 (mod 24)
         ≡ 2004 (mod 24)
a ＝ 24；b ＝ 12

a + b ＝ 36

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05/10/2004，星期二
初中(A23) 如图， PQRS 为一长方形。已知 PQ = 3 PS，ST:SR = 1:3 。
          求 三角形 SUT 的面积 和 阴影部分面积 之比。
          （已解）
          （答案：1 ： 5）
          （解对者：史奴比{^_^}）

若把PS=k, PQ = 3k

那么，PQRS 面积 = 3k^2

ST : SR = PS : PQ   (SR=PQ, ST=PS)
        = 1 : 3

SUT 面积 = 1/2 k^2(ST*PS)
         
阴部分面积 = PQRS 面积 - SUT 面积
           = (3 - 1/2) k^2
           = 5/2 k^2

那么，SUT 面积 ： 阴部分面积 =  （1/2） ： （5/2）
                             =  1 ： 5

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06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
               b = x + 2
               c = x + 3
          求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。 （已解）
          （答案：3）
          （解对者：38女?放?葅^_^}，止战之殇，灰羊，sMIL3）

解法（一）
b = a + 1; c = a + 2

a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca
= a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2 - a(a + 1) - (a + 1)(a + 2) - (a + 2)a
= a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 - a^2 - a - a^2 -3a - 2 - a^2 - 2a
= 1 + 4 - 2
= 3

解法（二）
(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab
(b-c)^2 = b^2 + c^2 - 2bc
(c-a)^2 = c^2 + a^2 - 2ca

(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca

除以2 ：

[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]/2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca  （如题目所要的）

a-b = -1, b-c = -1 , c-a = 2

答案：  a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca  = [(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2]/2
                                        = 6/2  
                                        = 3




解法（三）
ab = (x + 1)(x + 2)
     = x^2 + 3x + 2
bc = (x + 2)(x + 3)
     = x^2 + 5x +6
ac = (x + 1)(x + 3)
     = x^2 + 4x + 3
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 c^2 + 2ab + 2bc + 2ac
a^2 + b^2 c^2 = (a + b + c)^2 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = (3x + 6)^2 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 9x^2 + 36x + 36 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 3(3x^2 + 12x + 12) - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 3(ab + bc + ac) + 3 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 3 + ab + bc + ac         
a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca
= 3 + ab + bc + ac - ab -bc - ca
= 3



解法（四）
a^2+b^2+c^2-ab-bc-cd
=a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)
=2c-a-b
=3

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:32 PM ]

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11/10/2004，星期一
初中(A25) 若 a/b = b/c = c/d = d/a ，其中 abcd ≠0。
          求 (a+b+c+d)/(a+b+c-d) 之值。 （已解）
          （答案：0 或 2）
          （解对者：史奴比{^_^}，430201）

解法（一）
a/b = d/a          b/c = c/d
a^2 = bd           c^2 = bd
a^2 = c^2 = bd
a = c = +/- (bd)^1/2

a/b = b/c          c/d = d/a
b^2 = ac           d^2 = ac
b^2 = d^2 = ac
b = d = +/- (ac)^1/2

(a+b+c+d)/(a+b+c-d) = (2a + 2b)/(2a)
                    =  1 + b/a
                    =  1 + b / [+/- (bd)^1/2]
                    =  1 + (b/d)^1/2  @ 1 - (b/d)^1/2
                    =  1 + 1   @  1 - 1
                    =  2  @  0

解法（二）
設 a/b = b/c = c/d = d/a＝k（k為常數）
則a＝bk，b＝ck，c＝dk，d＝ak
即a＝ck^2＝dk^3＝ak^4
∵a≠0，∴k^4＝1→k＝±1
（1）若k＝1
     則a＝b＝c＝d
     故(a+b+c+d)/(a+b+c-d)＝(4a)/(2a)＝2（∵a≠0）
（2）若k＝－1
     則b＝－a，c＝a，d＝－a
     故(a+b+c+d)/(a+b+c-d)＝0/(2a)＝0（∵a≠0）

[ Last edited by pipi on 21-10-2004 at 11:47 PM ]

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12/10/2004，星期二
初中(A26) 已知 A,B,C,D,E 为整数，且 0 ≤A,B,C,D,E≤9 。

           若   A B C D E
             x          4
          _________________
                E D C B A  
               ----------
          求 A,B,C,D,E 之值。 （已解）
          （答案：(A,B,C,D,E)=(2,1,9,7,8)）
          （解对者：史奴比{^_^}，灰羊，38女）

解法（一）
4的乘法表 ：  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  
        -->   0   4   8   12  16  20  24  28  32  36
从A,E做起，
A x 4 = E (个位数)              E x 4 = *A
A = 1 or 2                 -->        = *1 or *2    (个位数是1或2)
(不可能是0,A不等于E)               E  =  - or 3/8     

If E=3, A=1
那么 A x 4 = E
     1 x 4 + (9) = 13  
-> 不可能 A=1, E=3,  1) 4 的乘法表最多能进位到3而已。
                     2) A x 4 只得单数。
所以可以确定，A=2, E=8

2***8 x 4 = 8***2

接下来找B, D,
B x 4 = D　(单数,没进位)    D x 4 + (3) = *B     (8x4 = 32, 进3)
B = 0 or 1 or 2                         = *0 or *1  or *2  
                                          (个位数是0或1或2)
                                     D  = -  or 2/7 or -

B 肯定是 = 1                        (D不可能是2 ， D不等于A)
                                    所以 D=7

最后找 C
D x 4 + (3) = 31  (进位3)
C x 4 + (3) = 3C    为何3C ? -->     B x 4 = D
                                     1 x 4 + (3) = 7   
                                    ( 需要从 C x 4 进位（3）)
所以结果 C 只能等于 9

答案：21978 x 4 = 87912  （若A B C D E 不重复）

解法（二）
首先,A一定小於3,不然乘出來是六位數
∴A=2(因為E*4不會得到個位數1) => E=8

B也一定小於3,不然A*4不會得E,
考慮B≠2,因為上面E*4後會進位3,所以B一定是奇數
∴B=1 => D=7 (因為D*4後加上進位的3得到個位數1,且D＞4)

D=7,所以上面D*4後加上進位的3=31,進位3,
0≤C≤9,且C*4加上進位的3後.會進位3
∴C=9

(A,B,C,D,E)=(2,1,9,7,8)

解法（三）
由题目,知道A<E,而且A*4一定会是个位数,因此A只能是1或2.A若是1的话,E就是4了,而E*4不等于A=1.
因此,A=2;E=8.
接着B*4也一定是个位数,也知道B<D.由于A=2;E=8,那E*4=8*4=32,进位3.
D*4+3的个位数要小于D.因此D只能是7,7*4+3=31,所以B=1,进位3.
然后,C*4+3的个位数要是C,因此只有C=9,因为9*4+3=39.C=9,进位3.

最终的答案便是:
    21978
  x     4
---------
    87912
---------

[ Last edited by pipi on 19-10-2004 at 10:22 AM ]

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13/10/2004，星期三
初中(A27) 甲、乙兩人轮流报数，必须报不大於2的自然数，把兩人报的数加起來，
          谁报数后加起來的数是20，谁就获胜。
          如甲要取胜，是先报还是后报？报几？（请解释你的论点！） （已解）
          （答案：甲先报。报 2）
          （解对者：灰羊，fritlizt，38女）

解法（一）
甲先報!報2,接下來對方報2甲就報1,對方報1甲就報2,甲必勝!

因為報的數必須是1或2,所以每一次
甲跟乙報的數的和一定可以湊成3
3*6=18,甲如果先報2,解下來把自己報的數
和乙報的數湊成3,哪麼甲第7次報數就能湊成3*6+2=20
就能勝利了!

解法（二）
先报数的赢。报 2 号。

如果先报到 20 号的赢。也就是说报17号的赢了。
如此推算，报2号的赢定。

解法（三）
先报,而且要报到2,然后报(2+3),再报(2+3+3),(2+3+3+3)...

[ Last edited by pipi on 19-10-2004 at 10:21 AM ]

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18/10/2004，星期一
初中(A28) 100 个学生排成一列，由左到右，报数！
          1,2,3,...,100。
          现在喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，然后由左到右，报数！
          1,2,3,...,50。
          现在喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，然后由左到右，报数！
          1,2,3,...,25。
          。。。
          如此指令重复，直到最后一个学生！
          问：这最后一个学生第一次喊什么号码？ （已解）
          （答案：64）
          （解对者：430201，史奴比{^_^}）

解法
第一次剩下2的倍數：2、4、6、8、…、100
第二次剩下4的倍數：4、8、12、16、…、100
第三次剩下8的倍數：8、16、24、32、…、96
第四次剩下16的倍數：16、32、48、64、80、96
第五次剩下32的倍數：32、64、96
第六次剩下64的倍數：64

[ Last edited by pipi on 25-10-2004 at 04:00 PM ]

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19/10/2004，星期二
初中(A29) 若 1/a  + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c),
          求证 a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3。 （已解）
          （答案：--）
          （解对者：多普勒效应，430201）

解法（一）

所以，a,b,c 中必有两个是相反数。
设 a=-b
所以
a^3 + b^3 + c^3 = c^3
(a+b+c)^3 = c^3
所以 a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3

解法（二）
已知 1/a  + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c),
去分母化簡得a^2×b＋a×b^2＋b^2×c＋b×c^2＋c^2×a＋c×a^2＝－2abc
又(a+b+c)^3＝a^3＋b^3＋c^3＋3(a^2×b＋a×b^2＋b^2×c＋b×c^2＋c^2×a＋c×a^2)＋6abc
得(a+b+c)^3－(a^3 + b^3 + c^3)＝3(a^2×b＋a×b^2＋b^2×c＋b×c^2＋c^2×a＋c×a^2)＋6abc＝3×(－2abc)＋6abc＝0
故a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3


解法（三）
已知 1/a  + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c),去分母得
  (a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝abc
  ﹝(a＋b)＋c﹞(ab＋bc＋ca)－abc＝0
(a＋b)(ab＋bc＋ca)＋c(ab＋bc＋ca)－abc＝0
(a＋b)(ab＋bc＋ca)＋c^2(a＋b)＝0
(a＋b)(ab＋bc＋ca＋c^2)＝0
(a＋b)﹝b(a＋b)＋c(a＋c)﹞＝0
(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝0
則a＝－b或b＝－c或c＝－a
分別以a＝－b或b＝－c或c＝－a代入
   a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3
的左右兩式即得證

[ Last edited by pipi on 25-10-2004 at 04:02 PM ]

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20/10/2004，星期三
初中(A30) 小明将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分别写在3X3的表格内（如下图），每格一个数字。
          他分别将各（横）行，和各（竖）列的三个数加起来。
          把和写在表的下方和右方。
          试找出 * 之值。
          （已解）
          （答案：7）
          （解对者：多普勒效应，430201，史奴比{^_^}）

解法（一）


解法（二）
借用樓上的A、B、C、D、E、F、G、H、I，謝謝！！

∵(A＋D＋G)＋(D＋E＋F)＝23＋21＝44
又A＋D＋G＋E＋F的最大值為(9＋8＋7＋6＋5＝)35
∴D＝9，且A、G、E、F必為5、6、7、8之一。
而B、C、H、I必為1、2、3、4之一。

∵C＋F＋I＝8，且F為5、6、7、8之一  C、I為1、2、3、4之一。
∴F＝5，則E＝21－9－5＝7，


解法（三）
先找出最大的和数。
         
         23 = 9 + 8 + 6  （只有唯一的选择）
         21 = 9 + 7 + 5    或者  8 + 7 + 6

        但是 若用 8 + 7 + 6， 那么将会出现两个数字重复，
        所以 只有 21 = 9 + 7 + 5

        9 将会重叠， 所以9 一定要在上中间。
      
       现在 7 和 5 的位置 就要考虑放在哪里。
       若把 5 放中间，那么

       14 = 8 + 5 + 1  / 7 + 5 + 2 / 6 + 5 + 3 / 4 + 5 + 6 /      

       6，7，8，9 已经用过了
       那么看来以上的都不可以用。
       所以只有 7 可以摆中间。
      
       1， 2， 3， 4， 就如以下添进去


          8    9    6  |    23
          4    7    3  |    14
          1    5    2  |    8
        -----------------------  
          13   21   11

        * 当然是 7。

[ Last edited by pipi on 25-10-2004 at 04:04 PM ]

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25/10/2004，星期一
初中(A31) 若　(a+b)/(a-b) = 7/4
          求  (a^2)/(b^2) 之值。 （已解）
          （答案：121/9）
          （解对者：多普勒效应，430201）

解法（一）



解法（二）
∵(a+b)/(a-b) = 7/4
利用合分比性質
∴〔(a+b)＋(a-b)〕/〔(a+b)－(a-b)〕＝(7＋4)/(7－4)
則a/b＝11/3
故(a^2)/(b^2) 之值為121/9。

[ Last edited by pipi on 30-10-2004 at 07:54 PM ]

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26/10/2004，星期二
初中(A32) 已知 六位数 174xyz 能被 7,11,13 整除。
          求 x + y + z 。 （已解）
          （答案：12）
          （解对者：430201，史奴比{^_^}）

解法（一）
已知 六位数 174xyz 能被 7,11,13 整除。
所以 六位数 174xyz 必能被 7,11,13的最小公倍數1001 整除。
顯然 六位数 174xyz ÷1001＝174
則 x＝1，y＝7，z＝4。
故 x + y + z＝12

[ Last edited by pipi on 30-10-2004 at 07:55 PM ]

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27/10/2004，星期三
初中(A33) 在某一数，x 的前后各添上"1"。
          得到的数 y， 比 x 大 13439。
          求 x 。 （已解）
          （答案：382）
          （解对者：多普勒效应，430201，史奴比{^_^}）

解法（一）


解法（二）
設x為(n－1)位數，n＞1
(10^n＋10x＋1)－x＝13439
x＝(13438－10^n)/9＞0
則n＜5
（1）若n＝2，則x＝1482（不合）
（2）若n＝3，則x＝1382（不合）
（3）若n＝4，則x＝382

解法（三）
x 前后添 1 ， 那么就是 1"x"1
y - x = 13439  

   1"x"1
-    "x"
---------    ==>  x 应该是3位数, abc
   13439   
---------

所以      1 a b c 1
       -      a b c
      --------------
          1 3 4 3 9
      --------------

以最快方法添进去,

c = (1)1 -  9      = 2    (1,需要借位)
b = (1)2 - *1* - 3 = 8    (1,需要借位 / *1* 被借位)
a =  8   - *1* - 4 = 3

x = 382

[ Last edited by pipi on 30-10-2004 at 07:57 PM ]

多普勒效应

01/11/2004，星期一
初中(A34)

（答案：(x＋y－2)(x－y＋3)，(a－b)(b－c)(c－a)）
（解答者：430201）

解法
1、原式＝(x＋y)(x－y)＋(x＋5y)－6
       ＝(x＋y－2)(x－y＋3)

2、原式＝(ab^2－ac^2)－(cb^2－bc^2)－(ba^2－ca^2)
       ＝a(b＋c)(b－c)－bc(b－c)－a^2(b－c)
       ＝(b－c)(ab＋ca－bc－a^2)
       ＝(b－c)﹝c(a－b)－a(a－b)﹞
       ＝(a－b)(b－c)(c－a)

[ Last edited by 多普勒效应 on 5-11-2004 at 08:50 PM ]

多普勒效应

02/11/2004，星期二
初中(A35)

（答案：(2a + b)/(a + 2b)）
（解答者：chiaweiwoo1）

  ((a + b)^3 + a^3 )/(a + b)^3 + b^3)
= ((2a + b)((a + b)^2 - (a + b)(a) + a^2)/((a + 2b)((a + b)^2 - (a + b)(b) + b^2)
= (2a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - ab + a^2)/
  (a + 2b)(a^2 + 2ab + b^2 - b^2 - ab + b^2)
= (2a + b)(a^2 + ab + b^2)/
  (a + 2b)(a^2 + ab + b^2)
= (2a + b)/(a + 2b)

[ Last edited by 多普勒效应 on 5-11-2004 at 08:49 PM ]

多普勒效应

03/11/2004，星期三
初中(A36)

（答案：）
（解对者：430201，史奴比{^_^}）

解法（一）
( x + 1/x )^2 = x^2 + 1/x^2 + 2

已知 ：x^2 + 1/x^2  = 23

所以 ( x + 1/x )^2 = 23 + 2
                   = 25
     ( x + 1/x )   = 5 @ -5

但是 x < 0 ,  ( x + 1/x ) 不可能等于 5
所以，( x + 1/x )   = -5

( x + 1/x )^3 = x^3 + 1/x^3 + 3( x + 1/x)

x^3 + 1/x^3 = ( x + 1/x )^3  - 3( x + 1/x)
            = (-5)^3 - 3(-5)
            = -125 + 15
            = -110

解法（二）
∵x^2＋(1/x)^2＝23
∴(x＋1/x)^2＝x^2＋2＋(1/x)^2＝25
但x＜0，則x＋1/x＝－5
故x^3＋(1/x)^3＝(x＋1/x)〔x^2－1＋(1/x)^2〕＝(－5)×(23－1)＝－110

多普勒效应

08/11/2004,星期一
初中 (A37)

ABCD 是正方形，CED是直角三角形。
M是ABCD的中点，D=60度，求角MND之值。
（已解）
（答案：105度）
（解对者：430201）

1、連CM、DM，
則∠CMD＝90度，且CM＝DM，∴∠MCN＝45度。
2、∵∠CMD＝90度，∠CED＝90度，
   ∴C、E、D、M四點共圓
   則∠CMN＝∠CDE＝60度
   故∠MND＝∠CMN＋∠MCN＝105度

[ Last edited by 多普勒效应 on 19-11-2004 at 12:43 AM ]

多普勒效应

09/11/2004,星期二
初中 (A38)

（已解）
（答案：2）
（解对者：萧晨，430201）

解法（一）
=2^(2/3) + 2^(1/3) +1
(2^(1/3)-1)x=(2^(1/3)-1)(2^(2/3) + 2^(1/3) +1)=1--------->(a-1)(aa+a+1)=a^3-1
(2^(1/3)-1)=1/x
2^(1/3)=1+1/x


解法（二）
1＋1/x＝(x＋1)/x＝〔2^(2/3) + 2^(1/3) +1＋1〕/〔2^(2/3) + 2^(1/3) +1〕
＝1＋〔2^(1/3) －1〕（有理化分母，即分子、分母同乘以〔2^(1/3) －1〕）
＝2^(1/3)
故(1＋1/x)^3＝2

左右三次方-->2=(1+1/x)^3

多普勒效应

10/11/2004,星期三
初中 (A39)
ABCD是凸四边形，且AB=BC=AC=AD,
求角BDC之值。
（已解）
（答案：30度）
（解对者：fritlizt，430201，萧晨）

解法（一）
ABC等边三角形
ABD等腰三角形
所以可以花在一个圆圈里面
BCD在圆周
A是圆心
然后利用圆心角=2x圆周角
BAC角=2BDC角---〉以BC为底

然后就知道BDC角度是60/2=30度了



解法（二）
∵AB＝AD
∴設∠ABD＝∠ADB＝a度，
則∠BAD＝(180－2a)度
∵AB＝BC＝CA
∴∠BAC＝60度
則∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝(120－2a)度
∵AC＝AD
則∠ADC＝(180－120＋2a)/2度＝(30＋a)度，
故∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝30度