鸟哥讲古！

斷羽鳥

呵呵 ... 今天星期五， 明天星期六， 鸟哥我心情好 ... 讲个故事给你们听吧! ... 很久很久以前有个 ... 靠!怎么故事都必须酱开始地啊? 来点新鲜的 ...

嗯...要怎么开始呢? ... 好啦今天大家就来当当一天的上帝吧, 看看上帝好不好当, 啊? 你上帝, 创造了这个国度 - 就叫他平面王国(Flatland)!

注: 此故事改篇自 Edwin A. Abbott 1838-1926 <<Flatland: Romance of Many Dimensions>> 要听懂这故事,得把你的想象力推倒100%.

Flatland
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上帝(你)活在3维度空间里, 当然你可以看, 触摸, 感觉立体 (3D), 但你想嘛你是上帝也, 创造了个世界, 总不能让那些生物和你一样聪明吧, 所以你决定限制那国度的维度于2维度(2D). 所以我们叫它Flatland. 活在这儿的人嘛, 当然全是平面的咯! 就是你看上去他们全是碥碥的啦! 活在那儿的生物当然, 他们根本没有立体的概念 (是你不想然他们有的嘛). 在Flatland里, 只有, 东西南北左右前后, 却没有上下哦! 那些生物就叫他们Flatlander好了! 住在哪儿的Flatlander, 都是些平面poligon, 如3角形啦, 4方形啦的. 当然你是上创造了整个Flatland, 又可以感觉第三维度, 要辨别那些舍麽3角形啦, 4方形啦, 大三角行啦, 小三角形啦 ... 并不难. 但试想想那些Flatlander自己看自己人到地是怎个样啊? 一条直线啦, 就好想你拿一张A4纸放到桌面上, 从上面看是圆形, 如慢慢把视线移到桌角, 那纸是不是变了个直线? 就是这种概念啦! 如图啦如果你不能想象的话!



人物
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住在那儿的人全都是poligon而且还是全等边的哦(regular poligon). Flatlander有很强的阶级概念! 最低级的就是三角形了, 都是属于那些, 士兵啦, 劳工啦之类的. 用来打仗或开发土地舍麽的, 需要劳力的就对了啦! 接下来当然有正方形啦, 正5角形, 正6角形等等的, 属于中等阶级的.  在Flatland里, 智慧嘛就以poligon的内角大小而定, 当然最没智慧的就是三角形咯! 5角形嘛就比正方形有智慧了. 7角8角形也有, 是属于高级Flatlander, 受其他Flatlander崇拜和敬仰的一群, 大多是律师啦, 大学教授啦的. 呵呵 ...超过10角的久久才出现一两个. 是属于智慧超凡者,宗教领袖或创办者. 但有智慧不以定有成就哦! 有些人嘛持着自己有一点小聪明, 结果还不是一团糟. 在人类世界如此, 在Flatland当然也如此啦!

Dr. Square
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在Flatland里嘛有一个几何学者, Dr. Square, 是正方形(智慧有90度). 多年来默默根云, 虽然智慧普普通通, 但多年来也给他混了个PhD. 他一直很热衷于几何学研究哦! 年阶40有余, 有位妻子. 女人嘛在这世界里是属于一条直线哦, 没舍麽地位, 而且是最没脑的哦 - 直线哪有内角啊? (别骂鸟哥我, 去骂 Edwin Abbott). 而且Dr. Square很喜欢旅行哦! 但是在Flatlander有几个地方是没人敢去的哦! 因为以前有很多旅者去了就没一个回来了. 就是南极,北极, 东极, 西极. 所以很多人都不敢跑离Flatland中心太远! 他们认为那4个角落, 要不没有尽头, 要不嘛就是有恐龙怪兽舍麽的, 把那些旅者都给吃了!

（To be continue, only if 有人有兴趣听， else, 鸟哥我还是花多点时间睡觉好了）下列是故事大纲：-


美梦
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遇见外星人
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第一次探险
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第二次探险
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第三次探险
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[ Last edited by 斷羽鳥 on 20-3-2004 at 06:02 AM ]

斷羽鳥

其实网上有电子书! 忘了府上links, 这:
http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/

因为是原文, 又是写于19世纪末, 所以文学味道很重, 敬请细心阅读, 作者是以第一者的身分(也就是我讲的Dr Square). 描述他的世界! ... 慢慢研究吧! 细心品尝作者的幽默吧! 看看鸟哥我漏掉/珊掉没讲的部分! 这篇文章鸟哥我想写给中学生(form5-form6)的! 如果你们阅读了原文, 请帮忙鸟哥提出意见, 想尽量把故事缩到最短最简单, 而不失原文想要传达的讯息! 先谢了!

这篇文章在19世纪末, 引起神学界与科学界的一阵激烈辩论呢!

斷羽鳥

突然觉得"美梦"真的没舍麽重要, 说以改为: -

聪明的侄儿!
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Dr. Square 有位哥哥(也是正方形), 生了个绝顶聪明的小侄儿! (智慧有120度也, 知道他是舍麽形状了吧). 大家对他的期望也真的很高, Dr. Square每次到他哥哥家用完晚餐, 都会花点时间教导下侄儿数理, 才不过短短六七年, 小侄儿的脑袋里以装满了, +,-,×,÷, 基本代数法也根本难不倒他了! 今天是小侄儿生日哦, Dr. Square 又和他的太太一同到他哥哥家里去做客了! 今天有点不同, 大家开开心心的吃完晚餐, Dr. Square心理在想:"啊! 时间过的也真快啊, 小侄儿一转眼就8岁了! 此子年级小小已懂数理, 以后前途无可限量呢 , 得好好栽培他才行! 想想是时候教他基本几何了"

叫来了侄儿, Dr. Square 为了要让侄儿明白面积的概念, 弄来了9个 1"×1" 的正方形卡片, 排成了九宫格. 然后对侄儿说. 哪! 看到啦一个正方形, 就是 1"平方, 那么如果把它以3x3酱排, 就是9"平方啦! 侄儿骚骚脑袋, 遥遥头哦 "叔叔我不明白也???" (在3维度空间里的你(神哦)可能会偷笑, 酱笨啊!, 但想想那是Flatland也, 不能从上往下看呢, 没有上下的概念叻!). Dr Square耐心地给侄儿酱解. "那你看, 可以由一个点说起. 如果一个点你向前后拉长3", 那是舍麽啊?", 小侄儿骚骚脑袋答 "一条直线." "对了! 哪再来! 如果那条直线你再往左右伸展3", 哪又是舍麽啊?", 小侄儿想了想答 "square". Dr. Square心想孺子可教, 说道:"那不就是咯, 拉长一次变3"的直线, 再伸展一次就变成一个正方形咯! 一来一往酱那正方形的面积不就是3×3=9咯!". 那侄儿听了懂了一半, 搔搔脑袋好像想到了舍麽: "叔叔, 叔叔! 你教过我3次方呢? 哪酱3×3×3又是怎样个样啊?", 那Dr. Square 听了笑说: "3×3×3=27在几何学里是没意事的啦!" (记得Flatlander没有第三维度概念的). "叔叔骗人, 一定是你不会, 怎么可能3×3=9就有意事, 3×3×3=27就没有, 一定是你不会啦, 哈哈 ...". Dr. Square 心想他X的, 这孩子怎酱机车啊, 一时语塞, "好啦, 好啦, 今天就到此为止啦! 明个儿再教你!". 那小侄儿就酱心不甘情不愿的走了. Dr. Square 被那小孩酱一说心里纳闷了起来! ...

[to be continue]

呵呵 ... 相信这Dr. Square所教的基本几何, 你们一定很熟悉了吧! 唯一比较新的概念就是那 "拉长与伸展" 如果不明白,这有张图, 我不解释了, 不明白就问, 明白的就答吧! ... 所有几何形的起点就是一个"点", 然后跟着一定的规则 "拉长与伸展" 或"移动"而变成其他形状, 这种概念明白吗? 试想想如果哪正方形在向上下伸展(向到第3次元), 那又会变成舍麽? --- 对!立体正方形! 可怜那Dr. Square, 没法了解对吗? 因为它根本就没有第3次元的概念! 再来想想(把想象力推高到200%)如果那立体正方形再向第4次元伸展, 哪会是个怎个样啊! 现在就可怜我们这些生活在 "Space" 3次元里的生物了! ... 呵呵 ... 故事还没完呢! 下期 ..."Dr. Square 遇见外星人"





问: 这故事到这里, 你们都觉得怎样? 难, 易, 有趣, 闷? 鸟哥我知道有很多错字, 写华语真有点吃力也!

问:到第应该用3维度, 还是3次元啊 ? 我也搞糊涂了?

[ Last edited by 斷羽鳥 on 21-3-2004 at 04:43 AM ]

斷羽鳥

遇见外星人
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被那侄儿机车了一顿, Dr. Square心理越想越不是味儿, 到底3×3×3=27有没意事啊? 为舍么3×3=9就是面积, 3×3×3=27就没意事啦? 隐隐约约中又好像想到了舍麽, 但一转身又觉得不对了. 有你这个在3D世界里的神, 当然就有和你专门作对的魔鬼啦! 这些魔鬼叫 "几何". 常常搞倒你们头昏脑胀的! ... 这天 "几何"里有一只很捣蛋的圆球(sphere). 无意中看到了这Dr. Square的心理. 它心想:"呵呵 ...你这神也真够混蛋! 创造了Flatland, 由偏偏不然你的子民知道你这个3D世界是舍麽个样, 把他们蒙在鼓里". 它存心要和你捣捣蛋! 就想把必秘说给 Dr. Square 听! hahahahahahaha.... 它假扮神下凡去找 Dr. Square !!!!!

当Dr. Square 一直在床上转来转去的想着这问题的当儿. 突然听到一把声音: "呵呵...呵呵...我的子民, flatlander啊! ....". Dr. Square慌了一下,心想难道家进贼了道 "谁! 是谁酱大胆敢到我家来撒野". "普"一声突然在Dr. Square 眼前出现了一个完整的圆圈(circle), 说道:"我是上帝派来点化你的疑问的". 要知道在flatland里. 智慧是以poligon的内角作标准的! 一个圆圈， 内角是？ 无限大哦！这简直就把Dr. Square看傻了.这种生物也只在理论里生存罢了.没想到是真真的存在也 ！ 但他并没有怀疑， 这种智慧不可能在flatland里找到的！ 他也没惊慌， 只是好奇的问："你是传说中的圆圈，以你的智慧肯定知道很多东西咯， 就请教教我吧" 说完恭敬的鞠个恭. 这是只听那圆圈说道“呵呵...你只对了一半。我是知道很多东西， 但我并不是圆圈， 我是圆球！"。 "圆球？" 这一个名词不但Dr。Square一生中重来没听过, 相信在flatland也绝对没遇到过！"对是圆球！ 是一种固体(solid)". "舍麽， 固体?" Dr. Square尝试着在他的脑里找来找去, 就是找不着"圆球" 与"固体" 这两个词! 又听那圆球说道: "对! 严格上来说我是圆球, 一个由无限多个圆圈所组成的3维固体!". "舍麽?  3维固体? ..." 这可把Dr Square听出了16只耳朵. 这时Dr.Square 注意到那圆圈好像没有固定的size酱, 有时大, 有时小! 那个圆球好像懂得Dr Square的想法似的, 说道:"是的! 我的体型在你看来是不规定的. 这时因为我是漂浮着切入你们的2维空间的!".

这可又把Dr Square听得傻了. 就算把想象力推倒300%他也不可能明白的, 对吗? 那你们可有明白那圆球说的 "切入" ? 不明白? 看图吧!



对! 要让在flatland的2维生物明白,想象出3维世界的画面, 似乎没可能的! 当然那圆圈也知道这点:"再说下去你也不会想象到的, 就用个例子让你明白就好了!"
"在3维世界里有种固体叫cube! 就是那小孩说的3×3×3=27的形体!". 当然Dr Square也不明白, 就说到:"情赐教!".
"好, 那告诉我在你们的世界里, 正方形是怎样来的?"
Dr. Square说道:" 由一个点拉长变为一条直线, 然后再又一条直线伸展变成一个正方形咯"
圆球道:"那么接下来再伸展呢? 当然你不能想象! 但试着用基本几何概念来明白好了! 一个点当然只有一个terminal point. 那么当他被拉长之后, 就有两个terminal point啦. 那么再来伸展变成正方形之后呢, 就有4个terminal point咯."

[鸟哥不知 terminal point 华语叫舍麽, 那个朋友知道通知我一声, 我补上]

不明白的请看图:

o  ( 1 terminal point )

o-----------o   (2 terminal points)

o------o
|      |
|      |   (4 terminal points)
o------o

圆球接着道: "1, 2, 4, ... 这对你来说是舍麽series?" Dr Square: "嗯 ...是 geometrical series!"
圆球道:"嗯!那接下来是舍麽数?" Dr Square: "嗯! 8".
圆球又道:"嗯! 那就是咯! 1,2,4,8! 比你的世界多了一维, 那3维cube就是拥有8个terminal points的形体咯!"
接着圆球又道:" 那再来和你说'面(side)'的概念! ... 一个点, 没有面! 一条直线有两个面! 一个正方形有4个面! 那你看0,2,4, ...是个舍麽series啊?"
Dr Square想也不用: "嗯! Arithmetical series! 和接下来的数是6".
圆球道:"噢! 就是酱子咯, cube在3维世界中就是由8个terminal points和6个面所组成的形体咯".

注: 鸟哥来说说这"面"或英语叫 "side"的基本概念! n 维度里的side永远是 n-1维度的形体. 就像2D的正方形, side是条1D直线(通常叫边)! 3D里的cube,side是一个2D正方形. 酱子说你们明白吗? 明白就好!

Dr Square搔搔脑袋: "嗯! 酱也不能代表舍麽啊? 那只不过是数字游戏, 我还是不能想象那cube是舍个样!"

他当然不能明白啦! 如果鸟哥叫你想象一下你这个3D神的世界上面还有个4D的世界, 而在那有一个叫hypercube的东东! 拥有, 16个terminal points和8个side, 每个side都是一个3D的cube. 你想象下! ... 32只耳朵了吧? 呵呵 ...

圆球道:"去验证吧, 我的子民 ... 北方有你要的答案! 去吧 ...记得一至往北方走别回头 ... "
当Dr Square想在问清楚些, 那圆球就 '普' 一声的就不见了!


注: 以下几次探险, 并没出现在原文里! 是鸟哥我以前看到的一本书里的记载! 但我忘了名字, 太久了! 原文想要表达的呢就是 "次元的概念". 既然你能以3次元的角度看2次元里的几何,那么可以用这种概念, 伸展了解4次元! 也说明了4次元的存在并非不可能! ... 不能"看到"并不代表没有! 读到这里: 以下概念基本概念应该要了解好, 虽然有些我没解释清楚!
- 拉长/伸展 (strech)
- 面(side)
- terminal point
- 由n Dimension 切入 n-1 dimension. (intersect)
真正了解以上概念对以后研究空间有用的! 都是些基本概念!

问: 想象下, 如果有一个4次元生物, 切入3次元来找你! 他会是个舍麽样?

第一次探险
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遇到圆球之后的3个星期里, Dr Square, 每天茶饭不思, 一只在想着那圆球所说的cube和3维世界. 他日益消瘦, 老婆家人劝他也不听! 到了第4个星期, 他终于做下决定, 要道北方去找答案! ... 当然, 当他把想法告诉家里人和大学里的同事们时, 大家都极力反对! 个个都说他是疯子! 但你们知道啦 ... 这怎么可能打断他的念头呢! 数学家都是很执著的哦! 也许就是因为这种执著, 才有酱多很好的数学家呢!

出发的日子终于到来咯! ... 因为北方的险恶, 所以Dr Square, 一早就做好了准备. 他做了一条很长很耐得红线绑在自己生上, 另一端绑在家门口的一颗树上. 万一迷路也可以找着原路回来. 吻别了妻子 ... 上路咯 .... 当然Dr Square在一路上, 遇见了很多新鲜的东西, 看了很多人, 也交了很多朋友. 一边游山玩水, 一边寻找他要得答案, 问了很多人, 没有一个知道舍麽是cube和3维世界.  3个月就酱过去了, 当然他也没遇到舍麽危险啦. 有一天他边走着边想, 这么酱久了还没找着答案呢? 会不会被那圆球给骗了呢? 就当他想着入迷的时候. 一个熟悉的景色闪入眼帘! 他的心登时凉了半载! "怎么 ...怎么...回到来家乡了呢 ... 我明明一至向北走啊 ... 没可能会走错吧? ... 可能向西或东打了个圈? ... "

呵呵 ... 奇怪吧! 他一步一步走回家的时候, 心理一至在纳闷. 当他走向那株树的时候, 还看到他的线是绑着的呢! 而他是由后面走向树的哦! 并非由左或右! 他老婆听到他的脚步声, 飞快的跑出来 ... 然后... muaaakkkkzzz ... 给了个吻 ... 然后深情地XXXXXX (你以为舍麽? 这是科幻推理故事, 不是爱情故事! okay?)

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怎样这故事? 好听吗? ... 接下去还有 ... 但是故事的发展 ... 呵呵 ... 就和你们的想法有关了哦! 因为你们是神嘛, 是你们创造了这flatland的哦! 来来, 鸟哥现在发问 ... 你们的回答和故事发展有关哦! ... 没回答就没 ... 下集了!

问: 为舍麽, Dr Square明明是一至离他家往北方走, 但却在3个月后回到来源地? 在舍麽情况之下会发生酱的怪事? [Dr Square 他并没走错路]

来来! ... 这故事将会带领你们明白一个概念 - manifold! 用很简单, 没有数学的方程式, 没有axiom, 没有teorem ... 当然没有数字! ... 我想要连F5-F6的学生都能明白! ...如果故事写完, 你们还想继续研究这空间的概念, 鸟哥我可以提供一些指引!

[ Last edited by 斷羽鳥 on 23-3-2004 at 07:20 AM ]

答: Dr. Square 沿着球面走了一圈嘛. 对不?

请多多指教, 断羽兄.

夕。桀。

顶！顶！顶！
真的很好看呀！！！
嗯。。。
有点疑问叻，望鸟哥指点一下，
flatland 只有2d，那是否就有如一张纸般？
如果是的话，那flatland是否拥有两面？？
如果flatland只是张纸的话，
dr square可能就是走了纸的一圈。
想象力不够。。只能想到这样 >_<

斷羽鳥

夕。桀。 于 28-3-2004 03:48 PM  说 :
顶！顶！顶！
真的很好看呀！！！
嗯。。。
有点疑问叻，望鸟哥指点一下，
flatland 只有2d，那是否就有如一张纸般？
如果是的话，那flatland是否拥有两面？？
如果flatland只是张纸的话，
dr square可能就 ...

夕。桀。和 右手的想象力都很好！ 。。。就是他有可能就是围绕了一些形状绕了一圈. 而那2次元的flatland就是"依附"在那3次元的形体上的！只是2Dflatlander不能观测到罢了！夕。桀。和 右手 说的都只是可能性罢了！（鸟哥我要赞你们呢-聪明！）

但这个形状， 单评那一次的冒险是很难断定的。 不要说是2D里的Dr.Square， 就算是3D里的我们都是不能肯定的。 留意第2次冒险！ 。。。鸟哥需要点时间！

斷羽鳥

对不起! 让大家就等! ... 故事的发展是将的 ... 第二次旅行 ...

第一次从北方‘回来’Dr. Square 变得很沮丧。 舍麽答案也没找着！ 其实我们都知道这已经给了他一个提示了， 只是身为 2D 的 flatlander, 他不能体会3维的可能性罢了！

突然有一天， 一个奇怪的念闪过。 Dr Square 开始在想， 会不会是他从圆球那儿听错了。 圆球说的会不会是东或西， 自己听错？ 就应为酱一个念头, 就定下了 Dr Square 第二次旅行冒险的决心. 2星期后果然 Dr Square 有再次在亲朋戚友的反对下 .... 出发了!

这次和上次一样, 为防迷路, 他绑了那条红线在身上. 但这一次他并非向北方走去. 而是向着西方前进 (flatlander 西游记？？）。嗬嗬嗬嗬 。。。 猜猜结果怎样？

哈哈 。。。 当然他又回到了他的那颗树面前（要不然故事就没得写了）。 对从东方走回的！ 。。。

但这一次他只用了1个月的时间， 比上次短了2个月!

猜猜看为舍麽酱? 发挥你们的想象力， 猜吧！


p.s 注意到很多前面的图片都不见了吧! ... 我的webserver被suspended咯！ overbandwidth。 图片拿不回来了！ free 的service 就是酱的啦！hi ... hi ....

pipi, 把你的e-mail短讯给我好吗？

[ Last edited by 斷羽鳥 on 5-5-2004 at 11:40 AM ]

因为地球不是正圆滴。。。。

嘿嘿。。 有趣。。 有趣。。。 再来。。 再来。。。。

斷羽鳥

哈哈 ... ... 那是 2D flatland 叻， 不是地球哦！ 。。。 那2D flatland 有可能‘依附 ’在任何3D 形体上的！ 。。。 就是让你们猜猜看吗！

再来就想想， 既然2D有可能依附在3D 形体上， 那么3D '依附' 在4D形体上概念就出来了！
Dr. Square 向北方走， 回到他自己的家。 那么如果你有一艏飞船， 以直线离开地球（从3维的角度来看）， 飞啊飞啊 。。。 突然有一天， 从星空的另一边飞回了地球！ 能像想吗？

快猜猜2D flatland 是依附在怎样的形体上的？ 说出所有有可能的形体来！！！！

我只想到 椭圆型 。。。

正圆球型也是可以，但是时间上将会一样。。 所以应该是椭圆型(上下长，左右窄的那种)。。。

斷羽鳥

pipi 收到了！ 。。。

小李波特, 椭圆型有可能哦！ 。。。

如果我告诉你他第一次与第二次所绑的那条红线并没有交叉....那椭圆型还有可能吗？？？？

并没有交叉，不太可能呱。。

除非出发点是在两个平行排列的椭圆型的交接点上，然后两次探险都走不同的椭圆型，这样才有可能造成两条红线没有交叉点。。

这个能算是答案吗？？？

斷羽鳥

没有对错啦！ 只是要你们用用脑经想想！ 。。。 假如说那红线没交叉， 那Dr Square走的到底是舍麽形状？？？？只有一个形体， 并不是多个形体连接一起哦！！！！

flyingfish

斷羽鳥 于 5-5-2004 17:47  说 :
pipi 收到了！ 。。。

小李波特, 椭圆型有可能哦！ 。。。

如果我告诉你他第一次与第二次所绑的那条红线并没有交叉....那椭圆型还有可能吗？？？？

看起来空心的柱体都能符合条件。。。

神仙祖宗

我把它想成一根圆铁棒拗成圆圈，从平面看，成了内外两个圆圈，第一次绕着内/外圈走了个大圆，第二次绕着铁棒走了个小圆子！

我的猜想！

DR。SQUARE 的家在 POINT A。

红线是代表他向北的第一次旅行。

而蓝线是代表他向西的第二次旅行。

假设这个“DOUGHNUT”比较细而且比较大，所以，他向西走一圈比向北走一圈还要快。

flyingfish 于 6-5-2004 11:20 PM  说 :


看起来空心的柱体都能符合条件。。。

应该是酱的吧！

没有下文了吗？？？？？