数学Paper 1讨论专区

笨蛋一个

最近生病，没去注意

两种方法
i) 用differentiation，f'(Q)=0
ii) 画graph

无光的星星

原帖由 笨蛋一个 于 19/4/2009 02:59 PM 发表
最近生病，没去注意

两种方法
i) 用differentiation，f'(Q)=0
ii) 画graph

你可以帮我检查那里错吗？

f'(Q)= -2sin 2Q
-2sin2Q = 0
sin2Q=0
2Q = sin^-1 (0)
2Q=0
Q=0
when Q=0, f(0)=cos 2(0) = 1
(0，1）

f(π/6)=cos 2( π/6) = 1/2

f(5π/6)=cos 2(5π/6) = 1/2

(0,1)
(π/6,1/2)
(5π/6,1/2)
therefore,1 is absolute maximum value ,1/2 is absolute minimum value

可是答案是-1，1/2

bell_25

我不是很明白这问题。。所以要向你们求救了。。
题目是：
A pyramid with a square base is inscribed in a sphere of radius R. All the 5 vertices of the pyramid are touching the sphere. The height of the pyramid is x, show that the 4 vertices which form the base of the pyramid lie on a circle of radius r, where r^2 = 2Rx - ( x^2 ).

diagram 我知道怎样画，可是就是不知道要怎样show。。

笨蛋一个

原帖由 无光的星星 于 19-4-2009 04:50 PM 发表

你可以帮我检查那里错吗？

f'(Q)= -2sin 2Q
-2sin2Q = 0
sin2Q=0
2Q = sin^-1 (0)
2Q=0
Q=0
when Q=0, f(0)=cos 2(0) = 1
(0，1）

f(π/6)=cos 2( π/6) = 1/2

f(5π/6)=cos 2(5π/6) = 1/2

(0 ...

2Q=sin^-1(0)
2Q=0, pi, 2pi, 3pi....
Q=0, pi/2, pi, 3/2pi
因为Q的range是(pi/6, 5/6pi)
Q=pi/2
.
.

原帖由 bell_25 于 19-4-2009 06:23 PM 发表
我不是很明白这问题。。所以要向你们求救了。。
题目是：
Apyramid with a square base is inscribed in a sphere of radius R. Allthe 5 vertices of the pyramid are touching the sphere. The height ofthe  ...

用theorem pythagorus.
在这里我不知道要酱表达

大概的做法是let a=x-R
R^2=r^2+a^2
.
.
.

无光的星星

原帖由 笨蛋一个 于 19/4/2009 06:39 PM 发表


2Q=sin^-1(0)
2Q=0, pi, 2pi, 3pi....
Q=0, pi/2, pi, 3/2pi
因为Q的range是(pi/6, 5/6pi)

为什么你会知道有那么多答案的？

bell_25

我知道要用到pythagoras theorem..
可是我不知道要怎样show vertices lie on the circle...
vertices又不是line...要怎样show呢？
可不可以麻烦你告诉我呢？
我好blur。。。

笨蛋一个

原帖由 无光的星星 于 19-4-2009 08:19 PM 发表


为什么你会知道有那么多答案的？

sin, tan, cos的equation的答案不止一个的。
你按calculator sin(0), sin(180), sin(360)，它们的答案是零。

原帖由 bell_25 于 19-4-2009 08:22 PM 发表
我知道要用到pythagoras theorem..
可是我不知道要怎样show vertices lie on the circle...
vertices又不是line...要怎样show呢？
可不可以麻烦你告诉我呢？
我好blur。。。

“show that the 4 vertices which form the base of the pyramid lie on a circle of radius r”
这句的意思是金字塔的四个点落在一个圆圈。那个圆圈的半径是r
不是叫你show4个点落在一个圆圈线中，那4个点本来就在圆圈线中了。

bell_25

哦。。原来我误解了。。
谢谢你。。
我会尝试解答这个问题。。

无光的星星

我想我明白了，是跟以前f4f5学过的sin,tan,cos的graph对不对？

bell_25

不好意思。。我突然又有问题了。。。
这个问题其实是叫我们prove什么?
prove 那个圆圈的半径是r..
还是r^2 = 2Rx - ( x^2 )呢？？

还有。。问什么你要let a=x-R？？
不好意思。。希望没把你问倒。。。

无光的星星

又有一题不会做。。

a right circular cone has base radius r and height h. As r and h vary, its curved surface area is kept constant. Show that its volume is a maximum when r=r√(2)h.

无光的星星

请问谁能帮我解答？

笨蛋一个

原帖由 无光的星星 于 19-4-2009 09:07 PM 发表
我想我明白了，是跟以前f4f5学过的sin,tan,cos的graph对不对？

对

原帖由 bell_25 于 19-4-2009 09:12 PM 发表
不好意思。。我突然又有问题了。。。
这个问题其实是叫我们prove什么?
prove 那个圆圈的半径是r..
还是r^2 = 2Rx - ( x^2 )呢？？

还有。。问什么你要let a=x-R？？
不好意思。。希望没把你问倒。。。

prove r^2 = 2Rx - ( x^2 )
因为我想把那个a去掉，所以let a=x-R，就容易办事了

原帖由 无光的星星 于 23-4-2009 06:08 PM 发表
又有一题不会做。。

aright circular cone has base radius r and height h. As r and h vary,its curved surface area is kept constant. Show that its volume is amaximum when r=r√(2)h.

我不明白，为什么when r=r√(2)h?
题目有没有少一些东西？

bell_25

好的。。谢谢你。。我会再尝试。。
这里又有一题我不是很确定。。。
题目是
The equation x^2 + ax + b = 0 has roots α and β. Find the two roots of the equation 4bx^2 + 2ax + 1 = 0 in terms of α and β.

我的solution(大略）是：
Given that α and β are the roots of x^2 + ax + b = 0.
hence,
α+β= -a
αβ = b

4bx^2 + 2ax + 1 = 0
x
= [ (-2a) ± √ ( (2a)^2  -  4(4b)) ] / 2(4b)
= [ (-2a) ± (√ 2 ) (√ a^2  - 4b) ] / 8b
= [ (-2α+β) ± (√ 2 ) (√ (α+β)^2  - 4(αβ)) ] / 8(αβ)
= [ 2(α+β) ± (√ 2 )(α-β) ] / 8(αβ)
=  [ 2(α+β) + (√ 2 )(α-β) ] / 8(αβ) ，  [ 2(α+β) - (√ 2 )(α-β) ] / 8(αβ)

The roots of the equation  4bx^2 + 2ax + 1 = 0 are
  [ 2(α+β) + (√ 2 )(α-β) ] / 8(αβ) and  [ 2(α+β) - (√ 2 )(α-β) ] / 8(αβ)

这样对吗？我总觉得怪怪的。。
麻烦指点哦。。谢谢。。。

Ivanlsy

原帖由 bell_25 于 28-4-2009 12:13 AM 发表
The equation x^2 + ax + b = 0 has roots α and β. Find the two roots of the equation 4bx^2 + 2ax + 1 = 0 in terms of α and β.

Since x^2 + ax + b = 0 has roots α and β, therefore

α + β = -a  
    αβ =  b

4bx^2 + 2ax + 1 = 0
x^2 + (2a/4b)x + 1/(4b) = 0
x^2 - (-a/2b)x + 1/(4b) = 0
x^2 - [(α + β)/(2αβ)]x + 1/(4αβ) = 0
x^2 - [(1/2β) + 1/(2α)]x + [1/(2α)][1/(2β)] = 0

Hence, the roots of the equation are 1/(2α) and 1/(2β)。

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 28-4-2009 12:26 AM 编辑 ]

bell_25

对哦。。我怎么没想到要这样解答呢。。
谢谢你。。。感激不尽。。。

iamverynoob

x
= [ (-2a) ± √ ( (2a)^2  -  4(4b)) ] / 2(4b)
= [ (-2a) ±  2  (√ a^2  - 4b) ] / 8b
= [2(α+β) ±  2 (√ (α+β)^2  - 4(αβ)) ] / 8(αβ)
= [2(α+β) ±  2 (α-β) ] / 8(αβ)
= 1/(2β), 1/(2α)

bell_25

哦。。谢谢你。。
原来我又是犯上粗心的毛病。。

bell_25

再来一题。。
If α and β are the roots of the equation x^2 + px + q = 0, show that p and q are the roots of the equation x^2 + (α+β-αβ)x - (αβ)(α+β) = 0.
Find the non-zero values of p and q if the roots of the second equation are
(a)α and β
(b)α^2 and β^2

问题的第一部分。。If α and β are the roots of the equation x^2 + px + q = 0, show that p and q are the roots of the equation x^2 + (α+β-αβ)x - (αβ)(α+β) = 0.。。。我会做。。可是。。接下来的我都毫无头绪。。可以指点我吗？？谢谢。。。

Ivanlsy

原帖由 bell_25 于 28-4-2009 09:39 PM 发表
If α and β are the roots of the equation x^2 + px + q = 0, show that p and q are the roots of the equation x^2 + (α+β-αβ)x - (αβ)(α+β) = 0.
Find the non-zero values of p and q if the roots of the second equation are
(a)α and β
(b)α^2 and β^2

x^2 + (α + β - αβ)x - (αβ)(α + β) = 0
x^2 + (-p - q)x - (q)(-p) = 0
x^2 - (p + q)x + pq = 0

Hence p and q are the roots of the equation.

When the roots of the second equation are
(a) α and β

p + q = α + β
          = -p  
       q = -2p

pq = αβ
      = q
   p = 1

When p = 1,
q = -2(1)
   = -2
Hence p = 1, q = -2.


(b) α^2 and β^2

p + q = α^2 + β^2
          = (α + β)^2 - 2αβ
          = p^2 - 2q

pq = (α^2)(β^2)
      = (αβ)^2
      = q^2
    p = q

When p = q,
p + q = p^2 - 2q
p + p = p^2 - 2p
p^2 - 4p = 0
p(p - 4) = 0
p = 0 (Not suitable)  or  p = 4
Hence p = 4.

Since p = q,
therefore q = 4.

p = 4, q = 4.